Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
(02) B=[ll 6 & 4 0 & 0 4 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a decomposição em valores singulares da matriz B . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar calcular alguns produtos de matrizes, encontrar autovalores e autovetores, além de entender como montar as matrizes U , Sigma e V da decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto B^T B , onde B^T é a transposta de B . Isso é importante porque os autovalores de B^T B nos ajudarão a encontrar os valores singulares de B .
B^T = 6 & 0 & 4 4 & 0 & 0
Multiplicando B^T por B :
B^T B = 6 & 0 & 4 4 & 0 & 0 6 & 4 0 & 0 4 & 0 = 52 & 24 24 & 16

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de B^T B . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(B^T B - lambda I) = 0
Calculando:
det( 52 - lambda & 24 24 & 16 - lambda ) = (52 - lambda)(16 - lambda) - 24 times 24 = 0
lambda^2 - 68lambda + 256 = 0
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os autovalores lambda1 = 64 e lambda2 = 4 .

Passo 4

Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores:
sigma1 = raiz64 = 8
sigma2 = raiz4 = 2

Passo 5

Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para formar a matriz V .
Para lambda1 = 64 :
(B^T B - 64I)v = 0 Rightarrow -12 & 24 24 & -48 v = 0
Isso nos dá a relação y = 12x . Podemos escolher v1 = 2 1 e normalizar:
v1 = 1raiz5 2 1
Para lambda2 = 4 :
(B^T B - 4I)v = 0 Rightarrow 48 & 24 24 & 12 v = 0
Isso nos dá a relação y = -2x . Podemos escolher v2 = 1 -2 e normalizar:
v2 = 1raiz5 1 -2

Passo 6

Agora, vamos construir a matriz V com os autovetores normalizados:
V = 2raiz5 & 1raiz5 1raiz5 & -2raiz5

Passo 7

Em seguida, calculamos as colunas da matriz U . Cada coluna ui é dada por:
ui = B visigmai
Para sigma1 = 8 :
B v1 = 6 & 4 0 & 0 4 & 0 2raiz5 1raiz5 = 16raiz5 0 8raiz5
u1 = 18 16 0 8 = 2 0 1 (normalizado para 1raiz5201)
Para sigma2 = 2 :
B v2 = 6 & 4 0 & 0 4 & 0 1raiz5 -2raiz5 = -2raiz5 0 4raiz5
u2 = 12 -2 0 4 = -1 0 2 (normalizado para 1raiz5-102)

Passo 8

Montamos a matriz U com os vetores u1 e u2 :
U = 2raiz5 & -1raiz5 0 & 0 1raiz5 & 2raiz5

Passo 9

Por fim, organizamos a matriz Sigma com os valores singulares:
Sigma = 8 & 0 0 & 2 0 & 0

Resposta

A decomposição em valores singulares da matriz B é dada por:
B = U Sigma V^T = 2raiz5 & -1raiz5 0 & 0 1raiz5 & 2raiz5 8 & 0 0 & 2 0 & 0 2raiz5 & 1raiz5 1raiz5 & -2raiz5 ^T

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