1. Encontre o plano tangente de f(x, y)=raiz4-x^2-y^2 no ponto (x, y)=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície dada por
z = f(x,y) = raiz4 - x^2 - y^2
no ponto (1,1). Vamos usar o método de aproximação linear, isto é, calcular as derivadas parciais em (1,1) e aplicar a fórmula
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Primeiro verificamos a imagem de (1,1) na superfície, calculando
z0 = f(1,1) = raiz4 - 1^2 - 1^2 = raiz2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y) = (4 - x^2 - y^2)^1/2,
usamos a regra da cadeia:
fx(x,y) = 12(4 - x^2 - y^2)^-1/2cdot(-2x) = -xraiz4 - x^2 - y^2,
fy(x,y) = -yraiz4 - x^2 - y^2

Passo 4

Avaliamo-las em (x0,y0)=(1,1):
fx(1,1) = -1raiz2, fy(1,1) = -1raiz2

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - raiz2 = -1raiz2,(x - 1) -1raiz2,(y - 1)

Passo 6

Podemos reescrever de forma explícita isolando z. Expandindo e simplificando,
z = raiz2 -x-1raiz2 -y-1raiz2 = 2raiz2 - x+yraiz2

Resposta

z - raiz2 = -dfrac1raiz2,(x - 1) - dfrac1raiz2,(y - 1)
z = 2raiz2 - dfracx + yraiz2

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