Considere o sólido S, que está abaixo do parabolóide z=x^2+y^2 e acima do retângulo [1,2] times[0,2]. Estime o volume de S utilizando uma soma de Riemann com 4 sub-retângulos e como ponto amostral o canto inferior direito de cada sub-retângulo.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o volume do sólido S que fica abaixo do parabolóide z=x^2+y^2 e acima do retângulo R=[1,2]times[0,2], usando uma soma de Riemann com 4 sub-retângulos e ponto amostral no canto inferior direito de cada um. Vamos aplicar o conceito de aproximação de integrais duplas por soma de Riemann: particionar R, calcular De<a x e De<a y, escolher os pontos amostrais e fazer
Vapproxsum f(xi^*,yj^*),De<a A

Passo 2

Particionamos R em 2 subintervalos em x e 2 em y. Logo
De<a x = 2-12 = 12
De<a y = 2-02 = 1

Passo 3

Os quatro pontos amostrais (cantos inferiores direitos) são
(1+tfrac12,0), (2,0), (1+tfrac12,1), (2,1)
e os valores de f(x,y)=x^2+y^2 nesses pontos são, respectivamente,
tfrac94, 4, tfrac134 e 5.

Passo 4

Cada sub-retângulo tem área
De<a A = De<a x;De<a y = 12 cdot 1 = 12
Portanto o volume aproximado é
V approx (tfrac94 + 4 + tfrac134 + 5),De<a A
V approx 292cdot12 = 294 = 7,25

Resposta

O volume aproximado de S pela soma de Riemann com 4 sub-retângulos e ponto amostral no canto inferior direito é 7,25.

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