Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
(-2 raiz2,-3 pi / 4)

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto em coordenadas polares (r,theta) com
r = -2raiz2, theta = -tfrac3pi4,
e pede que a gente o plote e encontre as coordenadas cartesianas (x,y). O conteúdo aqui é conversão de coordenadas polares para cartesianas, usando as fórmulas
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

Como r é negativo, a direção efetiva do ponto fica no ângulo
theta + pi = -tfrac3pi4 + pi = tfracpi4
Uma forma prática é usar diretamente isso com lvert rrvert = 2raiz2: o ponto está a 2raiz2 unidades na direção de pi/4 (ou 45^circ) contada desde o eixo x positivo.

Passo 3

Aplicando as fórmulas de conversão em vez de tratar o sinal de r separadamente, temos
x = (-2raiz2)cos!l(-tfrac3pi4r), y = (-2raiz2)sin!l(-tfrac3pi4r)
Como cos é função par e sin é ímpar,
cos!l(-tfrac3pi4r)=cos!l(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22, sin!l(-tfrac3pi4r)=-sin!l(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22
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x = (-2raiz2)l(-tfracraiz22r) = 2, y = (-2raiz2)l(-tfracraiz22r) = 2

Passo 4

Para plotar, percebemos que o resultado (2,2) está no primeiro quadrante, a 45^circ do eixo x positivo a uma distância de raiz2^2+2^2=2raiz2, exatamente como calculado.

Resposta

As coordenadas cartesianas são (2,2).

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