Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície
e{x{2}+y{2}}=z{2}+x y
0,2,-6$ ).
e{x{2}+y{2}}=z{2}+x y
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
Ponto:
.
Perguntas pedidas:
- Encontrar o plano tangente à superfície dada no ponto
. - Encontrar a reta normal à superfície dada no ponto
.
Passo 2
Primeiro passo técnico essencial: verificar se o ponto pertence à superfície. Isso é obrigatório porque o plano tangente a uma superfície só existe (no sentido pedido) numa ponto que esteja sobre a superfície.
Substituindo
na equação da superfície:
Comparando:
Como
(de fato
e não
), concluímos que o ponto
não pertence à superfície dada.
Passo 3
Implicação dessa verificação (explicação didática e intuitiva):
- O conceito de "plano tangente à superfície no ponto
" pressupõe que esteja na superfície. Se não está na superfície, não faz sentido falar do plano tangente àquela superfície em : a superfície não passa por , logo não há nenhum “contato” local entre a superfície e um plano em . - Técnica habitual (quando o ponto pertence à superfície): definimos uma função de nível
a superfície é o conjunto
. O vetor gradiente
é perpendicular (normal) à superfície no ponto da superfície, e o plano tangente pode ser escrito por
Mas tudo isso só se aplica em
se
(isto é, se
está na superfície).
Passo 4
Vou mostrar, como demonstração didática, quais seriam os passos algébricos para achar plano e reta caso o ponto pertencesse à superfície. Isso serve como receita de prova — mas atenção: o resultado abaixo é apenas hipotético porque, novamente, o ponto não pertence à superfície.
- Calcular as derivadas parciais de
. Aplicando regra da cadeia:
Derivadas:
- Avaliar as derivadas no ponto
(ainda que o ponto não satisfaça , as derivadas existem e podem ser avaliadas):
- O vetor gradiente (vetor normal hipotético) em
seria
Passo 5
Ainda em modo didático (hipotético), equação do plano tangente escrita com o gradiente:
Substituindo o vetor gradiente:
Uma forma rearranjada (mais direta para uso em prova) é:
Observação: esta fórmula é válida apenas numa hipótese — ela seria a equação do plano tangente se o ponto estivesse sobre a superfície.
Passo 6
Reta normal (hipotética) à superfície em
: a reta que passa por
com direção dada pelo vetor normal
. Parametrização (com parâmetro
):
Forma simétrica:
Novamente: isto é a reta normal que seria associada se o ponto pertencesse à superfície.
Passo 7
Conclusão final e conselho para prova:
- Como o ponto dado
não satisfaz a equação da superfície (ou seja, ), não é possível determinar o plano tangente nem a reta normal àquela superfície em — simplesmente porque a superfície não passa por esse ponto. - Em uma prova, sempre comece verificando se o ponto pertence à superfície. Se pertencer, prossiga como demonstrei (definindo
, calculando , escrevendo a equação do plano e da reta normal). Se não pertencer, indique explicitamente que não se pode encontrar o plano/reta pedida porque o ponto não está na superfície.
Resposta
Não é possível determinar o plano tangente nem a reta normal porque
; ou seja, o ponto
não pertence à superfície.