Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície
e{x{2}+y{2}}=z{2}+x y no ponto (0,2,-6$ ).

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
e^{x^{2}+y^{2}}=z^{2}+x y
Ponto: (0,2,-6).
Perguntas pedidas:
  1. Encontrar o plano tangente à superfície dada no ponto (0,2,-6).
  2. Encontrar a reta normal à superfície dada no ponto (0,2,-6).

Passo 2

Primeiro passo técnico essencial: verificar se o ponto pertence à superfície. Isso é obrigatório porque o plano tangente a uma superfície só existe (no sentido pedido) numa ponto que esteja sobre a superfície.
Substituindo (x,y,z)=(0,2,-6) na equação da superfície:
\text{LHS}=e^{x^{2}+y^{2}}=e^{0^{2}+2^{2}}=e^{4}.
\text{RHS}=z^{2}+x y = (-6)^{2}+0\cdot2=36.
Comparando:
e^{4}\quad\text{versus}\quad 36.
Como e^{4}\neq 36 (de fato e^{4}\approx54{,}598 e não 36), concluímos que o ponto (0,2,-6) não pertence à superfície dada.

Passo 3

Implicação dessa verificação (explicação didática e intuitiva):
  • O conceito de "plano tangente à superfície no ponto P" pressupõe que P esteja na superfície. Se P não está na superfície, não faz sentido falar do plano tangente àquela superfície em P: a superfície não passa por P, logo não há nenhum “contato” local entre a superfície e um plano em P.
  • Técnica habitual (quando o ponto pertence à superfície): definimos uma função de nível
F(x,y,z)=e^{x^{2}+y^{2}}-z^{2}-x y,
a superfície é o conjunto \{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=0\}. O vetor gradiente
\nabla F=(F_x,F_y,F_z)
é perpendicular (normal) à superfície no ponto da superfície, e o plano tangente pode ser escrito por
\nabla F(P)\cdot\bigl(x-x_0,y-y_0,z-z_0\bigr)=0.
Mas tudo isso só se aplica em P se F(P)=0 (isto é, se P está na superfície).

Passo 4

Vou mostrar, como demonstração didática, quais seriam os passos algébricos para achar plano e reta caso o ponto pertencesse à superfície. Isso serve como receita de prova — mas atenção: o resultado abaixo é apenas hipotético porque, novamente, o ponto não pertence à superfície.
  1. Calcular as derivadas parciais de F. Aplicando regra da cadeia:
F(x,y,z)=e^{x^{2}+y^{2}}-z^{2}-x y.
Derivadas:
F_x=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}-y,
F_y=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}-x,
F_z=-2z.
  1. Avaliar as derivadas no ponto (0,2,-6) (ainda que o ponto não satisfaça F=0, as derivadas existem e podem ser avaliadas):
F_x(0,2,-6)=2\cdot0\cdot e^{4}-2=-2,
F_y(0,2,-6)=2\cdot2\cdot e^{4}-0=4e^{4},
F_z(0,2,-6)=-2\cdot(-6)=12.
  1. O vetor gradiente (vetor normal hipotético) em (0,2,-6) seria
\nabla F(0,2,-6)=\bigl(-2,\;4e^{4},\;12\bigr).

Passo 5

Ainda em modo didático (hipotético), equação do plano tangente escrita com o gradiente:
\nabla F(0,2,-6)\cdot\bigl(x-0,\;y-2,\;z+6\bigr)=0.
Substituindo o vetor gradiente:
-2(x-0)+4e^{4}(y-2)+12(z+6)=0.
Uma forma rearranjada (mais direta para uso em prova) é:
z+6=\frac{1}{6}x-\frac{e^{4}}{3}(y-2).
Observação: esta fórmula é válida apenas numa hipótese — ela seria a equação do plano tangente se o ponto estivesse sobre a superfície.

Passo 6

Reta normal (hipotética) à superfície em (0,2,-6): a reta que passa por (0,2,-6) com direção dada pelo vetor normal \nabla F(0,2,-6). Parametrização (com parâmetro t):
x(t)=0-2t=-2t,
y(t)=2+4e^{4}t,
z(t)=-6+12t.
Forma simétrica:
\frac{x-0}{-2}=\frac{y-2}{4e^{4}}=\frac{z+6}{12}.
Novamente: isto é a reta normal que seria associada se o ponto pertencesse à superfície.

Passo 7

Conclusão final e conselho para prova:
  • Como o ponto dado (0,2,-6) não satisfaz a equação da superfície (ou seja, F(0,2,-6)\neq0), não é possível determinar o plano tangente nem a reta normal àquela superfície em (0,2,-6) — simplesmente porque a superfície não passa por esse ponto.
  • Em uma prova, sempre comece verificando se o ponto pertence à superfície. Se pertencer, prossiga como demonstrei (definindo F, calculando \nabla F, escrevendo a equação do plano e da reta normal). Se não pertencer, indique explicitamente que não se pode encontrar o plano/reta pedida porque o ponto não está na superfície.

Resposta

Não é possível determinar o plano tangente nem a reta normal porque \;e^{0^{2}+2^{2}}=e^{4}\neq36= (-6)^{2}+0\cdot2; ou seja, o ponto (0,2,-6) não pertence à superfície.

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