Encontre os pontos na superfície:
onde o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos da superfície
onde o plano tangente é paralelo ao plano
.
Informações dadas e coisas importantes que precisamos anotar:
- A superfície é dada implicitamente por
. - O plano com o qual queremos paralelismo é
. Dela extraímos o vetor normal (porque num plano da forma o vetor normal é ). - Precisamos os pontos
na superfície tais que o plano tangente nesse ponto seja paralelo ao plano dado. (Mais adiante vou explicar como traduzir isso em equações.)
Passo 2
Entendendo a ideia: para uma superfície dada implicitamente por
, o vetor gradiente
no ponto é um vetor normal à superfície naquele ponto — ou seja, normal ao plano tangente. Aqui é natural definir
Explicando a fórmula do gradiente:
. Cada componente é a derivada parcial de
em relação àquela variável — isso mede como
varia mudando só uma coordenada, e o vetor resultado aponta na direção de maior variação local de
, que é perpendicular ao nível
.
Calculemos o gradiente:
Esse é o vetor normal ao plano tangente em qualquer ponto
da superfície.
Passo 3
Condicão de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos, isto é, um é múltiplo escalar do outro. O plano dado tem vetor normal
. Logo queremos pontos tais que
para algum escalar
. Aqui
é uma constante que ajusta a proporção entre componentes; se existir
satisfazendo as três igualdades, então as normais são paralelas e os planos são paralelos.
Passo 4
Descrevendo as três equações componentes da igualdade vetorial:
Agora resolvemos cada uma para
em função de
. Dividindo as igualdades:
Portanto todo ponto cujo gradiente é paralelo ao vetor do plano tem a forma
para algum
.
Passo 5
Agora impomos que esses pontos estejam na superfície
. Substituímos
em função de
:
Vamos simplificar passo a passo (mostrando os cálculos para você poder reproduzir sem calculadora):
Colocamos todos os termos com
sob um denominador comum
:
Somando os numeradores:
Isolando
:
Portanto
Passo 6
Agora obtemos as coordenadas dos pontos substituindo as duas possibilidades de
em
.
Para
:
Para
:
Observação rápida: todos os componentes mudam de sinal juntos porque vêm multiplicados pela mesma
. Pode-se verificar diretamente que esses pontos satisfazem a superfície e que o gradiente em cada ponto é paralelo a
.