Encontre os pontos na superfície:
x^{2}+y^{2}-z^{2}=16 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2 x+7 y-6 z=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos da superfície \;x^{2}+y^{2}-z^{2}=16\; onde o plano tangente é paralelo ao plano \;2x+7y-6z=0\;.
Informações dadas e coisas importantes que precisamos anotar:
  • A superfície é dada implicitamente por \;x^{2}+y^{2}-z^{2}=16\;.
  • O plano com o qual queremos paralelismo é \;2x+7y-6z=0\;. Dela extraímos o vetor normal \;(2,7,-6) (porque num plano da forma \;Ax+By+Cz+D=0\; o vetor normal é \;(A,B,C)).
  • Precisamos os pontos (x,y,z) na superfície tais que o plano tangente nesse ponto seja paralelo ao plano dado. (Mais adiante vou explicar como traduzir isso em equações.)

Passo 2

Entendendo a ideia: para uma superfície dada implicitamente por \;F(x,y,z)=0\;, o vetor gradiente \;\nabla F(x,y,z)\; no ponto é um vetor normal à superfície naquele ponto — ou seja, normal ao plano tangente. Aqui é natural definir
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}-16.
Explicando a fórmula do gradiente: \nabla F=(\partial F/\partial x,\;\partial F/\partial y,\;\partial F/\partial z). Cada componente é a derivada parcial de F em relação àquela variável — isso mede como F varia mudando só uma coordenada, e o vetor resultado aponta na direção de maior variação local de F, que é perpendicular ao nível F=0.
Calculemos o gradiente:
\nabla F(x,y,z)=(2x,\;2y,\;-2z).
Esse é o vetor normal ao plano tangente em qualquer ponto (x,y,z) da superfície.

Passo 3

Condicão de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos, isto é, um é múltiplo escalar do outro. O plano dado tem vetor normal (2,7,-6). Logo queremos pontos tais que
(2x,\;2y,\;-2z)=\lambda(2,\;7,\;-6)
para algum escalar \lambda\in\mathbb{R}. Aqui \lambda é uma constante que ajusta a proporção entre componentes; se existir \lambda satisfazendo as três igualdades, então as normais são paralelas e os planos são paralelos.

Passo 4

Descrevendo as três equações componentes da igualdade vetorial:
2x=2\lambda,\qquad 2y=7\lambda,\qquad -2z=-6\lambda.
Agora resolvemos cada uma para x,y,z em função de \lambda. Dividindo as igualdades:
x=\lambda,
y=\frac{7\lambda}{2},
z=3\lambda.
Portanto todo ponto cujo gradiente é paralelo ao vetor do plano tem a forma \left(\lambda,\;\dfrac{7\lambda}{2},\;3\lambda\right) para algum \lambda.

Passo 5

Agora impomos que esses pontos estejam na superfície \;x^{2}+y^{2}-z^{2}=16\;. Substituímos x,y,z em função de \lambda:
\lambda^{2}+\left(\frac{7\lambda}{2}\right)^{2}-\left(3\lambda\right)^{2}=16.
Vamos simplificar passo a passo (mostrando os cálculos para você poder reproduzir sem calculadora):
\lambda^{2}+\frac{49\lambda^{2}}{4}-9\lambda^{2}=16.
Colocamos todos os termos com \lambda^{2} sob um denominador comum 4:
\frac{4\lambda^{2}}{4}+\frac{49\lambda^{2}}{4}-\frac{36\lambda^{2}}{4}=16.
Somando os numeradores:
\frac{4+49-36}{4}\lambda^{2}=\frac{17}{4}\lambda^{2}=16.
Isolando \lambda^{2}:
\lambda^{2}=\frac{16\cdot 4}{17}=\frac{64}{17}.
Portanto
\lambda=\pm\frac{8}{\sqrt{17}}.

Passo 6

Agora obtemos as coordenadas dos pontos substituindo as duas possibilidades de \lambda em \left(\lambda,\;\dfrac{7\lambda}{2},\;3\lambda\right).
Para \lambda=\dfrac{8}{\sqrt{17}}:
x=\frac{8}{\sqrt{17}},\qquad y=\frac{7}{2}\cdot\frac{8}{\sqrt{17}}=\frac{28}{\sqrt{17}},\qquad z=3\cdot\frac{8}{\sqrt{17}}=\frac{24}{\sqrt{17}}.
Para \lambda=-\dfrac{8}{\sqrt{17}}:
x=-\frac{8}{\sqrt{17}},\qquad y=-\frac{28}{\sqrt{17}},\qquad z=-\frac{24}{\sqrt{17}}.
Observação rápida: todos os componentes mudam de sinal juntos porque vêm multiplicados pela mesma \lambda. Pode-se verificar diretamente que esses pontos satisfazem a superfície e que o gradiente em cada ponto é paralelo a (2,7,-6).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{8}{\sqrt{17}},\;\frac{28}{\sqrt{17}},\;\frac{24}{\sqrt{17}}\right)
\displaystyle \left(-\frac{8}{\sqrt{17}},\;-\frac{28}{\sqrt{17}},\;-\frac{24}{\sqrt{17}}\right)

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