2- Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
a) x^3 y^prime prime prime+6 x^2 y^prime prime+4 x y^prime-4 y=0, x>0; y(1)=0, y^prime(1)=0, y^prime prime(1)=1; y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^-2 ln x ;
b) y^prime prime prime prime+y^prime prime=0; y(pi)=0, y^prime(pi)=0, y^prime prime(pi)=1, y^prime prime prime(pi)=0; y1(x)=1, y2(x)=x, y3(x)=sen x, y4(x)= cos x.

Passo 1

O enunciado pede, em cada caso, (i) verificar que as funções dadas são soluções linearmente independentes de uma EDO homogênea de ordem 3 ou 4, (ii) escrever a solução geral e (iii) ajustar as constantes para satisfazer o PVI. O conteúdo envolve equações de Euler–Cauchy (caso a) e EDO de coeficientes constantes (caso b). Para (i) usaremos a forma característica (e, se necessário, o Wronskiano); para (ii) combinamos as soluções fundamentais; para (iii) impomos as condições iniciais e resolvemos o sistema para as constantes.

Passo 2

Caso (a):
A EDO
x^3y'''+6x^2y''+4x,y'-4y=0, x>0
é do tipo Euler–Cauchy. Assumimos uma solução y=x^m. Substituindo e simplificando obtemos a equação característica
m(m-1)(m-2)+6m(m-1)+4m-4=0 ;Longrightarrow; m^3+3m^2-4=0
Fatorando, encontra-se uma raiz simples m=1 e uma raiz dupla m=-2. Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=x^1=x, y2(x)=x^-2, y3(x)=x^-2ln x

Passo 3

A solução geral do caso (a) é
y(x)=C1,x + C2,x^-2 + C3,x^-2ln x

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias e impomos as condições em x=1:
y(x)=C1x + C2x^-2 + C3x^-2ln x,
y'(x) = C1 -2C2x^-3 + C3x^-3(1-2ln x),
y''(x) =6C2x^-4 + C3x^-4(-5+6ln x)
As condições do PVI são
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1,
que levam ao sistema
C1+C2=0, C1-2C2+C3=0, 6C2-5C3=1

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira equação C1=-C2. Substituindo na segunda dá -C2-2C2+C3=0implies C3=3C2. Na terceira:
6C2-5(3C2)=1;Longrightarrow;-9C2=1;Longrightarrow;C2=-tfrac19,; C3=-tfrac13,; C1=tfrac19
Portanto a solução do PVI em (a) é
boxed y(x) =19,x -19,x^-2 -13,x^-2ln x

Passo 6

Caso (b):
A EDO
y''''+y''=0
tem equação característica
r^4+r^2=0 ;Longrightarrow; r^2(r^2+1)=0 ;Longrightarrow; r=0 (mu< 2),;r=pm i
Assim as soluções fundamentais são
y1(x)=1, y2(x)=x, y3(x)=sin x, y4(x)=cos x
e a solução geral é
y(x)=A + B,x + Csin x + Dcos x

Passo 7

Para o PVI em
Calculamos
Em isso dá o sistema
Logo , e .

Resposta

Caso (a):
y(x)=19,x-19,x^-2-13,x^-2ln x
Caso (b):
y(x)=1+cos x

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