2- Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
a) ; ;
b) ; ; .
Passo 1
O enunciado pede, em cada caso, (i) verificar que as funções dadas são soluções linearmente independentes de uma EDO homogênea de ordem 3 ou 4, (ii) escrever a solução geral e (iii) ajustar as constantes para satisfazer o PVI. O conteúdo envolve equações de Euler–Cauchy (caso a) e EDO de coeficientes constantes (caso b). Para (i) usaremos a forma característica (e, se necessário, o Wronskiano); para (ii) combinamos as soluções fundamentais; para (iii) impomos as condições iniciais e resolvemos o sistema para as constantes.
Passo 2
Caso (a):
A EDO
é do tipo Euler–Cauchy. Assumimos uma solução . Substituindo e simplificando obtemos a equação característica
Fatorando, encontra-se uma raiz simples e uma raiz dupla . Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
A solução geral do caso (a) é
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias e impomos as condições em :
As condições do PVI são
que levam ao sistema
Passo 5
Resolvendo o sistema: da primeira equação C1=-C2. Substituindo na segunda dá -C2-2C2+C3=0implies C3=3C2. Na terceira: