Encontre o plano tangente e o vetor normal à superfície dada implicitamente no ponto indicado:
x y z+ln (x y z)=0 em (1,-1,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida implicitamente por
F(x,y,z)=x,y,z+ln(x,y,z)=0
e pede o plano tangente e o vetor normal em (1,-1,-1). Para uma superfície implícita F(x,y,z)=0, o vetor normal é dado por nabla F no ponto e o plano tangente satisfaz
nabla F(p)cdotl((x,y,z)-pr)=0

Passo 2

Vamos verificar se o ponto pertence de fato à superfície, isto é, se
F(1,-1,-1)=1cdot(-1)cdot(-1)+lnl(1cdot(-1)cdot(-1)r)=1+ln(1)=1+0=1
é igual a zero.

Passo 3

Como F(1,-1,-1)=1neq0, o ponto (1,-1,-1) não satisfaz a equação da superfície, portanto não pertence a ela.

Resposta

O ponto (1,-1,-1) não está na superfície x,y,z+ln(x,y,z)=0; logo não existe plano tangente nem vetor normal definidos nesse ponto.

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