Seja f(x, y)=x^2+y^2-x y onde x=x(r, s)=s-r e y=y(r, s) é uma função diferenciável de r e s tal que: y(2,3)=3, partial ypartial r(2,3)=7 e partial ypartial s(2,3)=-5. Calcule partial fpartial r, onde r=2 e s=3.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^2+y^2-xy
com
x=x(r,s)=s-r,
y=y(r,s),
e pede partial f/partial r em (r,s)=(2,3). O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial fpartial r = fx,partial xpartial r+fy,partial ypartial r

Passo 2

Avaliaremos primeiro
x(2,3)=3-2=1,
e do enunciado
y(2,3)=3

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f em termos de x e y:
fx(x,y)=2x - y,
fy(x,y)=2y - x

Passo 4

Em (x,y)=(1,3) temos
fx(1,3)=2cdot1-3=-1,
fy(1,3)=2cdot3-1=5

Passo 5

Como x=s-r, segue
partial xpartial r=-1,
e o enunciado dá
partial ypartial r(2,3)=7

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial r =fx,partial xpartial r+fy,partial ypartial r
substituindo os valores calculados,
partial fpartial r =(-1)cdot(-1)+5cdot7 =1+35 =36

Resposta

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