Calcule:
partial(F, G)partial(x, y) onde F(x, y, z)=x^2+y^2x+z^2y e G(x, y, z)=x+yx+z

Passo 1

O enunciado pede o determinante jacobiano
partial(F,G)partial(x,y)
onde
F(x,y,z)=x^2+y^2x+z^2y, G(x,y,z)=x+yx+z
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e formação de determinante 2×2.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F e G em relação a x e y:
partial Fpartial x =2x-y^2x^2, partial Fpartial y =2yx-z^2y^2,
partial Gpartial x =1-yx^2, partial Gpartial y =1x

Passo 3

O jacobiano 2×2 é
partial(F,G)partial(x,y) = partial Fpartial x & partial Fpartial y [6pt] partial Gpartial x & partial Gpartial y =partial Fpartial x,partial Gpartial y -partial Fpartial y,partial Gpartial x ]

Passo 4

Substituindo as derivadas:
partial(F,G)partial(x,y) =l(2x-y^2x^2r)!l(1xr) -l(2yx-z^2y^2r)!l(1-yx^2r)
Agora expandimos termo a termo:
(2x)1x=2, -y^2x^21x=-y^2x^3,
l(2yxr)l(1-yx^2r) =2yx-2y^2x^3, l(-z^2y^2r)l(1-yx^2r) =-z^2y^2+z^2y,x^2

Passo 5

Juntando tudo e simplificando os termos semelhantes:
partial(F,G)partial(x,y) =2-y^2x^3 -l(2yx-2y^2x^3-z^2y^2+z^2y,x^2r) =2-2yx+y^2x^3+z^2y^2-z^2y,x^2

Resposta

boxed partial(F,G)partial(x,y) =2-2yx+y^2x^3+z^2y^2-z^2y,x^2

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