Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

O enunciado dá um PVI de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
9y'' + 6y' + 82y = 0,
com condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 2. Para resolver, vamos (i) montar a equação característica, (ii) encontrar suas raízes complexas, (iii) escrever a solução geral e (iv) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada é
9r^2 + 6r + 82 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 6^2 - 4 cdot 9 cdot 82 = 36 - 2952 = -2916 = -(54)^2
Logo as raízes são
r = -6 pm raiz-29162cdot9 = -6 pm 54,i18 = -tfrac13 pm 3,i

Passo 3

Como as raízes são r = alpha pm ibeta com alpha = -tfrac13 e beta = 3, a solução geral do ODE é
y(x) = e^alpha x l(Acos(beta x) + Bsin(beta x)r) = e^-x/3l(Acos(3x) + Bsin(3x)r)

Passo 4

Usando y(0) = -1 temos
y(0) = e^0l(Acos0 + Bsin0r) = A = -1

Passo 5

Agora calculamos y'(x) por regra do produto:
y'(x) = e^-x/3l(-3Asin(3x) + 3Bcos(3x)r) - tfrac13e^-x/3l(Acos(3x) + Bsin(3x)r)
Em x=0 isso vira
y'(0) = l(3B - tfracA3r) = 3B - l(-tfrac13r) = 3B + tfrac13
Igualando a condição y'(0)=2 e sabendo A=-1:
3B + tfrac13 = 2 Longrightarrow 3B = tfrac53 Longrightarrow B = tfrac59

Passo 6

Substituindo A=-1 e B=tfrac59 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(x) = e^-x/3l(-cos(3x) + tfrac59sin(3x)r)

Resposta

boxedy(x) = e^-x/3l(-cos(3x) + tfrac59sin(3x)r)

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