Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá um PVI de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
com condições iniciais
e
. Para resolver, vamos (i) montar a equação característica, (ii) encontrar suas raízes complexas, (iii) escrever a solução geral e (iv) usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
A equação característica associada é
Calculamos o discriminante:
Logo as raízes são
Passo 3
Como as raízes são
com
e
, a solução geral do ODE é
Passo 4
Usando
temos
Passo 5
Agora calculamos
por regra do produto:
Em
isso vira
Igualando a condição
e sabendo
:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI: