Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes, a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica…
A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left(\right.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 0 & -4 \\[4pt] 0 & 3 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}
e pede:
  • o polinômio característico de A;
  • os autovalores (e suas multiplicidades algébricas);
  • os autovetores correspondentes (ou uma base de cada autoespaço);
  • a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • os elementos da matriz A (já escritos acima);
  • trata-se de uma matriz triangular superior (os elementos abaixo da diagonal principal são todos zero).]

Passo 2

Definição e cálculo do polinômio característico.
  • Lembrete: o polinômio característico de uma matriz A é dado por
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é a variável escalar. Para uma matriz triangular, o determinante de A-\lambda I é simplesmente o produto dos elementos da diagonal de A-\lambda I.
  • Calcular A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & -4 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
  • Como é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda)=(3-\lambda)^2(-1-\lambda).
(Observação: se preferir um fator monomio padrão em \lambda, pode reescrever p(\lambda)=-(\lambda-3)^2(\lambda+1), mas a forma (3-\lambda)^2(-1-\lambda) já é correta.)]

Passo 3

Identificação dos autovalores e suas multiplicidades algébricas.
  • Os autovalores são as raízes do polinômio característico p(\lambda)=0.
  • Das fatores do polinômio (3-\lambda)^2(-1-\lambda) obtemos as raízes:
    • \lambda=3, cujo fator aparece com potência 2. Portanto a multiplicidade algébrica de \lambda=3 é 2.
    • \lambda=-1, cujo fator aparece com potência 1. Portanto a multiplicidade algébrica de \lambda=-1 é 1.
Vou agora achar os autovetores correspondentes, resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 4

Autovetores para [\lambda=3).
  • Montar A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}0 & 0 & -4 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -4\end{pmatrix}.
  • Seja v=(x,y,z)^{T}. A equação (A-3I)v=0 fornece o sistema linear:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y -4 z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y +5 z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y -4 z = 0. \end{cases}
Todas as equações dependem apenas de z\]. Das duas primeiras equações obtemos \(-4z=0 e 5z=0, ambas implicam
z=0.
  • Não há nenhuma equação envolvendo x ou y, então x e y são livres (parâmetros). Assim os vetores da forma
v=(x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0)
são exatamente os autovetores associados a \lambda=3 (exceto o vetor nulo). Uma base conveniente do autoespaço de \lambda=3 é
\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}.
  • A dimensão desse autoespaço (multiplicidade geométrica de \lambda=3) é 2.
Explicação didática rápida: geometricamente, o autoespaço é o espaço nulo de A-3I. Aqui o espaço nulo tem duas direções livres ( x e y), logo dimensão 2.]

Passo 5

Autovetores para [\lambda=-1).
  • Montar A-(-1)I=A+I:
A+I=\begin{pmatrix}4 & 0 & -4 \\[4pt] 0 & 4 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Seja v=(x,y,z)^{T}. A equação (A+I)v=0 dá o sistema:
\begin{cases} 4x - 4z = 0,\\[4pt] 4y + 5z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
  • Da primeira equação vem 4x-4z=0\Rightarrow x=z\]. - Da segunda equação vem \(4y+5z=0\Rightarrow y=-\dfrac{5}{4}z.
    - A terceira linha não impõe restrição adicional (equação trivial).
  • Tomando o parâmetro z=t, obtemos os vetores
v=t\left(1,\,-\dfrac{5}{4},\,1\right).
Para evitar frações, podemos escolher t=4 e obter um autovetor inteiro conveniente:
v= (4,\,-5,\,4).
  • Portanto o autoespaço associado a \lambda=-1 é gerado por \{(4,-5,4)\} (qualquer vetor não nulo colinear serve). A multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1.]

Passo 6

Resumo das multiplicidades e observação final.
  • Multiplicidades algébricas:
    • \lambda=3: multiplicidade algébrica 2.
    • \lambda=-1: multiplicidade algébrica 1.
  • Multiplicidades geométricas (dimensões dos autoespaços):
    • \lambda=3: multiplicidade geométrica 2.
    • \lambda=-1: multiplicidade geométrica 1.
  • Observação útil: como a soma das multiplicidades geométricas é 2+1=3, igual à dimensão da matriz, a matriz A é diagonalizável (não era pedido, mas é um bônus: sempre que a soma das multiplicidades geométricas for n a matriz é diagonalizável).

Resposta

Polinômio característico: (3-\lambda)^2(-1-\lambda)
Autovalores e multiplicidades algébricas:
\lambda=3 (multiplicidade algébrica 2)
\lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1)
Autovetores e multiplicidades geométricas:
Autovetores para \lambda=3: qualquer vetor da forma (x,y,0); base do autoespaço: \{(1,0,0),\,(0,1,0)\}. Multiplicidade geométrica: 2.
Autovetores para \lambda=-1: qualquer múltiplo de (4,-5,4) (por exemplo); base do autoespaço: \{(4,-5,4)\}. Multiplicidade geométrica: 1.

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