os autovalores (e suas multiplicidades algébricas);
os autovetores correspondentes (ou uma base de cada autoespaço);
a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
os elementos da matriz A (já escritos acima);
trata-se de uma matriz triangular superior (os elementos abaixo da diagonal principal são todos zero).]
Passo 2
Definição e cálculo do polinômio característico.
Lembrete: o polinômio característico de uma matriz A é dado por
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é a variável escalar. Para uma matriz triangular, o determinante de A-\lambda I é simplesmente o produto dos elementos da diagonal de A-\lambda I.
(Observação: se preferir um fator monomio padrão em \lambda, pode reescrever p(\lambda)=-(\lambda-3)^2(\lambda+1), mas a forma (3-\lambda)^2(-1-\lambda) já é correta.)]
Passo 3
Identificação dos autovalores e suas multiplicidades algébricas.
Os autovalores são as raízes do polinômio característico p(\lambda)=0.
Das fatores do polinômio (3-\lambda)^2(-1-\lambda) obtemos as raízes:
\lambda=3, cujo fator aparece com potência 2. Portanto a multiplicidade algébrica de \lambda=3 é 2.
\lambda=-1, cujo fator aparece com potência 1. Portanto a multiplicidade algébrica de \lambda=-1 é 1.
Vou agora achar os autovetores correspondentes, resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Seja v=(x,y,z)^{T}. A equação (A-3I)v=0 fornece o sistema linear:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y -4 z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y +5 z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y -4 z = 0. \end{cases}
Todas as equações dependem apenas de z\]. Das duas primeiras equações obtemos \(-4z=0 e 5z=0, ambas implicam
z=0.
Não há nenhuma equação envolvendo x ou y, então x e y são livres (parâmetros). Assim os vetores da forma
v=(x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0)
são exatamente os autovetores associados a \lambda=3 (exceto o vetor nulo). Uma base conveniente do autoespaço de \lambda=3 é
\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}.
A dimensão desse autoespaço (multiplicidade geométrica de \lambda=3) é 2.
Explicação didática rápida: geometricamente, o autoespaço é o espaço nulo de A-3I. Aqui o espaço nulo tem duas direções livres (x e y), logo dimensão 2.]
Da primeira equação vem 4x-4z=0\Rightarrow x=z\].
- Da segunda equação vem \(4y+5z=0\Rightarrow y=-\dfrac{5}{4}z.
- A terceira linha não impõe restrição adicional (equação trivial).
Tomando o parâmetro z=t, obtemos os vetores
v=t\left(1,\,-\dfrac{5}{4},\,1\right).
Para evitar frações, podemos escolher t=4 e obter um autovetor inteiro conveniente:
v= (4,\,-5,\,4).
Portanto o autoespaço associado a \lambda=-1 é gerado por \{(4,-5,4)\} (qualquer vetor não nulo colinear serve). A multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1.]
Passo 6
Resumo das multiplicidades e observação final.
Multiplicidades algébricas:
\lambda=3: multiplicidade algébrica 2.
\lambda=-1: multiplicidade algébrica 1.
Multiplicidades geométricas (dimensões dos autoespaços):
\lambda=3: multiplicidade geométrica 2.
\lambda=-1: multiplicidade geométrica 1.
Observação útil: como a soma das multiplicidades geométricas é 2+1=3, igual à dimensão da matriz, a matriz A é diagonalizável (não era pedido, mas é um bônus: sempre que a soma das multiplicidades geométricas for n a matriz é diagonalizável).
Autovetores e multiplicidades geométricas:
Autovetores para \lambda=3: qualquer vetor da forma (x,y,0); base do autoespaço: \{(1,0,0),\,(0,1,0)\}. Multiplicidade geométrica: 2.
Autovetores para \lambda=-1: qualquer múltiplo de (4,-5,4) (por exemplo); base do autoespaço: \{(4,-5,4)\}. Multiplicidade geométrica: 1.