Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores da transformações lineares.
\begin{array}{cccc}T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (-3 x+4 y,-x+2 y)\end{array}

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(-3x+4y,\,-x+2y).
O que se pede:
  • encontrar o polinômio característico;
  • encontrar os autovalores (eigenvalues);
  • encontrar os autovetores (eigenvectors).
Informações relevantes dadas:
  • A ação de T sobre um vetor (x,y) está explícita acima, na base canônica de \mathbb{R}^2.
  • Não foi dada outra base, então usaremos a base canônica e a matriz associada padrão.

Passo 2

Representar T por uma matriz na base canônica. Para (x,y) escrito como vetor coluna, T corresponde à multiplicação por uma matriz A. Observando T(x,y)=(-3x+4y,\,-x+2y), a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna de A é a imagem dos vetores da base canônica (1,0) e (0,1).

Passo 3

Lembrando a definição do polinômio característico: para uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vamos calcular A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc. Aplicando:
\begin{aligned} p(\lambda)&=\det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}\\[4pt] &=(-3-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot(-1). \end{aligned}]

Passo 4

Continuando o desenvolvimento do determinante passo a passo (expliquei cada termo para você poder replicar na prova):
(-3-\lambda)(2-\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-6,
porque
(-3-\lambda)(2-\lambda) = (-3)\cdot 2 + (-3)\cdot(-\lambda) + (-\lambda)\cdot 2 + (-\lambda)\cdot(-\lambda) = -6 +3\lambda -2\lambda +\lambda^{2} = \lambda^{2}+\lambda-6.
Agora somando o termo +4 do produto -4\cdot(-1) obtemos
p(\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-6+4=\lambda^{2}+\lambda-2.
Fatorando p(\lambda):
\lambda^{2}+\lambda-2=(\lambda+2)(\lambda-1).
Portanto o polinômio característico é p(\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-2 e as raízes são \lambda=1 e \lambda=-2.

Passo 5

Agora encontramos os autovetores associados a cada autovalor. Por definição, um autovetor não nulo v associado a \lambda satisfaz (A-\lambda I)v=0. Resolveremos cada caso.
Caso \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}-3-1 & 4 \\\\ -1 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 4 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Precisamos resolver o sistema linear
\begin{pmatrix}-4 & 4 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
As duas equações são equivalentes; da primeira temos -4x+4y=0, que simplifica para -x+y=0 ou y=x. Tomando x como parâmetro livre x=t (com t\neq 0 para vetor não nulo), obtemos y=t. Logo os autovetores associados a \lambda=1 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Um autovetor conveniente para escrever é v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Caso \lambda=-2:
A-(-2)I=A+2I=\begin{pmatrix}-3+2 & 4 \\\\ -1 & 2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
Resolvendo
\begin{pmatrix}-1 & 4 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
as linhas são iguais, então temos a equação -x+4y=0, isto é x=4y. Tomando y como parâmetro y=t, obtemos x=4t. Portanto os autovetores associados a \lambda=-2 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Um autovetor conveniente é v_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Resumo e observações úteis para prova:
  • Polinômio característico fatorou em raízes distintas \lambda=1 e \lambda=-2, então a matriz é diagonalizável (em \mathbb{R}) e os autovetores correspondentes são linearmente independentes.
  • Nas provas, sempre verifique (A-\lambda I)v=0 e escolha um parâmetro para escrever a família de autovetores; escolha vetores simples (como (1,1) e (4,1)) para responder.

Resposta

Polinômio característico: p(\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-2=(\lambda+2)(\lambda-1)
Autovalores: \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-2
Autovetores:
\lambda_{1}=1 \longrightarrow v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}
\lambda_{2}=-2 \longrightarrow v_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}

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