Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores da transformações lineares. \begin{array}{cccc}T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (-3 x+4 y,-x+2 y)\end{array}
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(-3x+4y,\,-x+2y).
O que se pede:
encontrar o polinômio característico;
encontrar os autovalores (eigenvalues);
encontrar os autovetores (eigenvectors).
Informações relevantes dadas:
A ação de T sobre um vetor (x,y) está explícita acima, na base canônica de \mathbb{R}^2.
Não foi dada outra base, então usaremos a base canônica e a matriz associada padrão.
Passo 2
Representar T por uma matriz na base canônica. Para (x,y) escrito como vetor coluna, T corresponde à multiplicação por uma matriz A. Observando T(x,y)=(-3x+4y,\,-x+2y), a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna de A é a imagem dos vetores da base canônica (1,0) e (0,1).
Passo 3
Lembrando a definição do polinômio característico: para uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vamos calcular A-\lambda I:
Portanto o polinômio característico é p(\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-2 e as raízes são \lambda=1 e \lambda=-2.
Passo 5
Agora encontramos os autovetores associados a cada autovalor. Por definição, um autovetor não nulo v associado a \lambda satisfaz (A-\lambda I)v=0. Resolveremos cada caso.
As duas equações são equivalentes; da primeira temos -4x+4y=0, que simplifica para -x+y=0 ou y=x. Tomando x como parâmetro livre x=t (com t\neq 0 para vetor não nulo), obtemos y=t. Logo os autovetores associados a \lambda=1 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Um autovetor conveniente para escrever é v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
as linhas são iguais, então temos a equação -x+4y=0, isto é x=4y. Tomando y como parâmetro y=t, obtemos x=4t. Portanto os autovetores associados a \lambda=-2 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Um autovetor conveniente é v_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 7
Resumo e observações úteis para prova:
Polinômio característico fatorou em raízes distintas \lambda=1 e \lambda=-2, então a matriz é diagonalizável (em \mathbb{R}) e os autovetores correspondentes são linearmente independentes.
Nas provas, sempre verifique (A-\lambda I)v=0 e escolha um parâmetro para escrever a família de autovetores; escolha vetores simples (como (1,1) e (4,1)) para responder.