Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes, a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica…
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left(\right.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -3 & -4 \\[4pt] 0 & 3 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
As perguntas específicas são:
  • Encontrar o polinômio característico.
  • Encontrar os autovalores (valores próprios).
  • Encontrar um autovetor (não nulo) correspondente a cada autovalor.
  • Informar a multiplicidade algébrica de cada autovalor.
  • Informar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Informações que o enunciado dá e que vamos usar:
  • A matriz A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
  • Os elementos da diagonal principal são 2,\;3,\;-1.]

Passo 2

O que é o polinômio característico e como vamos calcular:
  • Definição: o polinômio característico (na convenção que usaremos aqui) é \det(A-\lambda I), cujas raízes são os autovalores.
  • Fato útil: para uma matriz triangular, \det(A-\lambda I) é simplesmente o produto dos termos diagonais de A-\lambda I. Isso acontece porque o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.
    Aplicando isso:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 & -4 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix},
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\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda).
Observação: a forma monica habitual p(\lambda)=\det(\lambda I - A) é (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1); ambas formas contêm a mesma informação sobre as raízes (autovalores). Aqui vamos manter a forma \det(A-\lambda I) já calculada.]

Passo 3

Encontrar os autovalores:
  • Os autovalores são as soluções de \det(A-\lambda I)=0.
  • Como \det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda), as raízes são
\lambda=2,\qquad \lambda=3,\qquad \lambda=-1.
Multiplicidades algébricas:
  • Da fatoração vê-se que cada raiz aparece uma única vez, portanto a multiplicidade algébrica de cada autovalor é 1.
Vou agora explicar e calcular os autovetores correspondentes: para cada \lambda resolveremos o sistema (A-\lambda I)v=0. Esse sistema é um sistema linear homogêneo; seu espaço de soluções é o autespaço associado a \lambda. A dimensão desse espaço é a multiplicidade geométrica.

Passo 4

Autovetores para \lambda=2:
  • Montar A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix} 0 & -3 & -4 \\[4pt] 0 & 1 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
  • Escrever as equações associadas a (A-2I)v=0 para v=(x,y,z)^T:
    1. 0\cdot x -3y -4z = 0, ou seja -3y-4z=0.
    2. 0\cdot x +1\cdot y +5z = 0, ou seja y+5z=0.
    3. 0\cdot x +0\cdot y -3z = 0, ou seja -3z=0.
  • Resolver em ordem:
    • Da equação (3) vem z=0.
    • Substituindo em (2): y+5\cdot 0=0 y=0.
    • As equações (1) e (2) ficam satisfeitas com y=z=0; não há restrição sobre x: a primeira coluna de A-2I é toda zero, então x é livre.
  • Conclusão: vetores da forma v=(x,0,0)^T são soluções. Tomando x=1 obtemos um autovetor conveniente:
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • A dimensão do espaço próprio (número de parâmetros livres) é 1, logo a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.]

Passo 5

Autovetores para \lambda=3:
  • Montar A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix} -1 & -3 & -4 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
  • Equações para v=(x,y,z)^T:
    1. -x -3y -4z = 0, ou x = -3y -4z.
    2. 0\cdot x +0\cdot y +5z = 0, ou 5z=0.
    3. 0\cdot x +0\cdot y -4z = 0, ou -4z=0.
  • Da (2) e (3) obtemos z=0.
  • Substituindo em (1): x = -3y. Assim y é parâmetro livre e x fica determinado por y; z=0.
  • Tomando y=1 (escolha comum para obter um vetor simples) temos x=-3. Logo um autovetor é
v_{3}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • A dimensão do espaço próprio é 1, então a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 1.]

Passo 6

Autovetores para \lambda=-1:
  • Montar A-(-1)I=A+I:
A+I=\begin{pmatrix} 3 & -3 & -4 \\[4pt] 0 & 4 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  • Equações para v=(x,y,z)^T:
    1. 3x -3y -4z = 0, ou 3x = 3y +4z \Rightarrow x = y + \tfrac{4}{3}z.
    2. 0\cdot x +4y +5z = 0, ou 4y +5z = 0.
    3. 0=0 (nenhuma restrição adicional), então z será parâmetro livre.
  • Da equação (2): y = -\tfrac{5}{4} z.
  • Substituir em (1): x = \left(-\tfrac{5}{4}\right)z + \tfrac{4}{3}z = z\left(-\tfrac{5}{4}+\tfrac{4}{3}\right).
    Calcule o coeficiente: -\tfrac{5}{4}+\tfrac{4}{3} = -\tfrac{15}{12}+\tfrac{16}{12} = \tfrac{1}{12}.Então x=\tfrac{1}{12}z.
  • Tomando z como parâmetro livre, podemos escolher um valor de z que elimine frações. Se escolhermos z=12 obtemos x=1,\qquad y=-15,\qquad z=12.Assim um autovetor conveniente é v_{-1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-15\\[4pt]12\end{pmatrix}.(Qualquer múltiplo não nulo desse vetor também é autovetor.)
  • A dimensão do espaço próprio é 1 (apenas o parâmetro z livre), logo a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1.]

Passo 7

Resumo e comentários sobre multiplicidades:
  • Polinômio característico (na forma \det(A-\lambda I)): (2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda).
  • Autovalores: \lambda=2,\;3,\;-1.
  • Cada autovalor aparece uma vez na fatoração, então a multiplicidade algébrica de cada um é 1.
  • Para cada autovalor o correspondente autespaço tem dimensão 1 (cada sistema (A-\lambda I)v=0 teve exatamente uma liberdade), então a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1.
  • Como a soma das multiplicidades geométricas é 3 (igual à ordem da matriz) e cada multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica aqui, a matriz é diagonalizável (comentário extra útil para a prova).

Resposta

\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda)
Autovalores: \lambda=2,\; \lambda=3,\; \lambda=-1
Autovetor associado a \lambda=2: \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}
Autovetor associado a \lambda=3: \begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}
Autovetor associado a \lambda=-1: \begin{pmatrix}1\\[4pt]-15\\[4pt]12\end{pmatrix}
Multiplicidade algébrica: m_a(2)=1,\; m_a(3)=1,\; m_a(-1)=1
Multiplicidade geométrica: m_g(2)=1,\; m_g(3)=1,\; m_g(-1)=1]

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