Encontrar um autovetor (não nulo) correspondente a cada autovalor.
Informar a multiplicidade algébrica de cada autovalor.
Informar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Informações que o enunciado dá e que vamos usar:
A matriz A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
Os elementos da diagonal principal são 2,\;3,\;-1.]
Passo 2
O que é o polinômio característico e como vamos calcular:
Definição: o polinômio característico (na convenção que usaremos aqui) é \det(A-\lambda I), cujas raízes são os autovalores.
Fato útil: para uma matriz triangular, \det(A-\lambda I) é simplesmente o produto dos termos diagonais de A-\lambda I. Isso acontece porque o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.
Aplicando isso:
Observação: a forma monica habitual p(\lambda)=\det(\lambda I - A) é (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1); ambas formas contêm a mesma informação sobre as raízes (autovalores). Aqui vamos manter a forma \det(A-\lambda I) já calculada.]
Passo 3
Encontrar os autovalores:
Os autovalores são as soluções de \det(A-\lambda I)=0.
Como \det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda), as raízes são
\lambda=2,\qquad \lambda=3,\qquad \lambda=-1.
Multiplicidades algébricas:
Da fatoração vê-se que cada raiz aparece uma única vez, portanto a multiplicidade algébrica de cada autovalor é 1.
Vou agora explicar e calcular os autovetores correspondentes: para cada \lambda resolveremos o sistema (A-\lambda I)v=0. Esse sistema é um sistema linear homogêneo; seu espaço de soluções é o autespaço associado a \lambda. A dimensão desse espaço é a multiplicidade geométrica.
3x -3y -4z = 0, ou 3x = 3y +4z\Rightarrowx = y + \tfrac{4}{3}z.
0\cdot x +4y +5z = 0, ou 4y +5z = 0.
0=0 (nenhuma restrição adicional), então z será parâmetro livre.
Da equação (2): y = -\tfrac{5}{4} z.
Substituir em (1): x = \left(-\tfrac{5}{4}\right)z + \tfrac{4}{3}z = z\left(-\tfrac{5}{4}+\tfrac{4}{3}\right).
Calcule o coeficiente:-\tfrac{5}{4}+\tfrac{4}{3} = -\tfrac{15}{12}+\tfrac{16}{12} = \tfrac{1}{12}.Então x=\tfrac{1}{12}z.
Tomando z como parâmetro livre, podemos escolher um valor de z que elimine frações. Se escolhermos z=12 obtemosx=1,\qquad y=-15,\qquad z=12.Assim um autovetor conveniente év_{-1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-15\\[4pt]12\end{pmatrix}.(Qualquer múltiplo não nulo desse vetor também é autovetor.)
A dimensão do espaço próprio é 1 (apenas o parâmetro z livre), logo a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1.]
Passo 7
Resumo e comentários sobre multiplicidades:
Polinômio característico (na forma \det(A-\lambda I)): (2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda).
Autovalores: \lambda=2,\;3,\;-1.
Cada autovalor aparece uma vez na fatoração, então a multiplicidade algébrica de cada um é 1.
Para cada autovalor o correspondente autespaço tem dimensão 1 (cada sistema (A-\lambda I)v=0 teve exatamente uma liberdade), então a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1.
Como a soma das multiplicidades geométricas é 3 (igual à ordem da matriz) e cada multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica aqui, a matriz é diagonalizável (comentário extra útil para a prova).