Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
B=\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\\\ -2 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix}
e pede para escrevê-la na forma P D P^{-1}, onde D é uma matriz diagonal. Ou seja, precisamos encontrar uma matriz P invertível e uma diagonal D tais que
B = P D P^{-1}.
Informações relevantes dadas: os elementos de B são 5,6,-2,-2. A tarefa é fornecer explicitamente P, D e P^{-1}.

Passo 2

Conceito essencial (passo-a-passo): para diagonalizar uma matriz 2\times2 procuramos seus autovalores (valores próprios) como raízes do polinômio característico \det(B-\lambda I)=0. Para matriz 2\times2 a determinante é simples de calcular:
\det\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\right)=ad-bc.
Aplicando a B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 6 \\\\ -2 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(B-\lambda I)=(5-\lambda)(-2-\lambda)-6(-2).
Agora desenvolvendo passo a passo:
(5-\lambda)(-2-\lambda)=\lambda^{2}-3\lambda-10,
e adicionando +12 (porque -6(-2)=12) obtemos
\det(B-\lambda I)=\lambda^{2}-3\lambda-10+12=\lambda^{2}-3\lambda+2.
Fatorando:
\lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2).
Portanto os autovalores são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=2.

Passo 3

Agora calculamos um autovetor associado a \lambda_1=1\). Resolvemos \((B-I)v=0\): \[B-I=\begin{pmatrix}5-1 & 6 \\\\ -2 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 6 \\\\ -2 & -3\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} 4x+6y=0,\\\\ -2x-3y=0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (segunda é -\tfrac{1}{2}\] da primeira). Da primeira: \[4x+6y=0 \;\Rightarrow\; 2x+3y=0 \;\Rightarrow\; x=-\tfrac{3}{2}y.\] Para evitar frações escolho \(y=2, então x=-3. Um autovetor correspondente é
v_1=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora para \lambda_2=2\) resolvemos \((B-2I)v=0\): \[B-2I=\begin{pmatrix}5-2 & 6 \\\\ -2 & -2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix}.
Sistema:
\begin{cases} 3x+6y=0,\\\\ -2x-4y=0. \end{cases}
As equações são equivalentes. Da primeira:
3x+6y=0 \;\Rightarrow\; x=-2y.
Escolho y=1\] para simplicidade, então \(x=-2. Um autovetor correspondente é
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Formamos a matriz P com os autovetores como colunas (na mesma ordem dos autovalores que colocaremos em D):
P=\begin{pmatrix}-3 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
E a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Lembrete didático: a ordem das colunas de P determina a ordem dos autovalores em D; aqui escolhemos primeiro \lambda_1=1 com vetor (-3,2)^T e depois \lambda_2=2 com vetor (-2,1)^T.]

Passo 6

Precisamos de P^{-1}. Para uma matriz 2\times2 P=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} a inversa (quando existe) é
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante. Calculando o determinante de P:
\det(P)=(-3)\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = -3 +4 =1.
Como \det(P)=1\neq 0, P é invertível. Aplicando a fórmula:
P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação (opcional, mas útil para prova): calcular P D P^{-1}. Primeiro P D multiplica cada coluna de P pelo autovalor correspondente:
P D=\begin{pmatrix}-3 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & -4 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Agora (P D)P^{-1}:
\begin{pmatrix}-3 & -4 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 6 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix}=B,
confirmando que a fatoração está correta.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}-3 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & -3\end{pmatrix}]

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