Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal. B=\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\\\ -2 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix}
e pede para escrevê-la na forma P D P^{-1}, onde D é uma matriz diagonal. Ou seja, precisamos encontrar uma matriz P invertível e uma diagonal D tais que
B = P D P^{-1}.
Informações relevantes dadas: os elementos de B são 5,6,-2,-2. A tarefa é fornecer explicitamente P, D e P^{-1}.
Passo 2
Conceito essencial (passo-a-passo): para diagonalizar uma matriz 2\times2 procuramos seus autovalores (valores próprios) como raízes do polinômio característico \det(B-\lambda I)=0. Para matriz 2\times2 a determinante é simples de calcular:
\det\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\right)=ad-bc.
As duas equações são equivalentes (segunda é -\tfrac{1}{2}\] da primeira). Da primeira:
\[4x+6y=0 \;\Rightarrow\; 2x+3y=0 \;\Rightarrow\; x=-\tfrac{3}{2}y.\]
Para evitar frações escolho \(y=2, então x=-3. Um autovetor correspondente é
Lembrete didático: a ordem das colunas de P determina a ordem dos autovalores em D; aqui escolhemos primeiro \lambda_1=1 com vetor (-3,2)^T e depois \lambda_2=2 com vetor (-2,1)^T.]
Passo 6
Precisamos de P^{-1}. Para uma matriz 2\times2P=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} a inversa (quando existe) é