Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -2\end{pmatrix}
e pede três coisas:
  • o polinômio característico;
  • os autovalores (raízes do polinômio característico);
  • os autovetores associados a cada autovalor.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 3\times3 e é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
  • Os elementos da diagonal são 2, 3 e -2.]

Passo 2

O que é o polinômio característico e como calculá-lo (passo-a-passo didático).
  • Definição prática: costuma-se usar o determinante \det(A-\lambda I) ou, alternativamente, o determinante \det(\lambda I - A). Ambos trazem as mesmas raízes; a segunda forma dá um polinômio monico (coeficiente líder 1).
  • Observação importante sobre matrizes triangulares: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Aplicando isso a A-\lambda I (que permanece triangular), o determinante será o produto dos elementos da diagonal de A-\lambda I.
Agora escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Pelo fato triangular:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)(-2-\lambda).
Para trabalhar com um polinômio monico (mais comum), é conveniente usar
\det(\lambda I - A)=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+2).
Expandindo este produto (para ter o polinômio em forma polinomial padrão):
(\lambda-2)(\lambda-3) = \lambda^{2}-5\lambda+6,
(\lambda^{2}-5\lambda+6)(\lambda+2)=\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda+12.
Portanto o polinômio característico monico é
\boxed{\; \lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda+12 \; }.
(Se preferir \det(A-\lambda I), é apenas - vezes esse polinômio, por conta do sinal quando troca-se \lambda I - A por A-\lambda I em dimensão ímpar.)]

Passo 3

Encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico).
A forma fatorada (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+2) dá imediatamente as raízes:
\lambda=2,\qquad \lambda=3,\qquad \lambda=-2.
Cada uma aparece uma única vez no fatoramento, então todas têm multiplicidade algébrica 1. Quando os autovalores são distintos, cada um tem um autovetor não nulo associado e a matriz é diagonalizável.

Passo 4

Como encontrar autovetores (ideia geral e procedimento).
  • Para um autovalor \lambda, um autovetor v\neq 0 satisfaz (A-\lambda I)v=0.
  • Isso é um sistema linear homogêneo; a solução é o espaço nulo (núcleo) da matriz A-\lambda I.
  • Com matrizes triangulares é prático resolver por substituição regressiva (back substitution), começando pela última equação.
Vou resolver para cada autovalor.

Passo 5

Autovetores para [\lambda=2).
Formar A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -4\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^{T} então (A-2I)v=0 dá o sistema:
\begin{cases} -2y+3z=0,\\[4pt] y+z=0,\\[4pt] -4z=0. \end{cases}
Da terceira equação obtemos z=0\]. Substituindo em \(y+z=0 vem y=0. As duas primeiras equações confirmam isso. Não há equação envolvendo x (coeficiente de x é zero nas três linhas), logo x é livre. Tomando x=1 obtemos um autovetor:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O espaço próprio correspondente é \{ (x,0,0)^{T}: x\in\mathbb{R}\}.]

Passo 6

Autovetores para [\lambda=3).
Formar A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}-1 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -5\end{pmatrix}.
Sistema (A-3I)v=0:
\begin{cases} - x -2y +3z =0,\\[4pt] z=0,\\[4pt] -5z=0. \end{cases}
Das últimas equações vem z=0\]. Substituindo em primeira equação: \(-x-2y=0 então x=-2y. Tomando y=1 obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O espaço próprio é gerado por esse vetor.]

Passo 7

Autovetores para [\lambda=-2).
Formar A-(-2)I=A+2I:
A+2I=\begin{pmatrix}4 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 5 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Sistema (A+2I)v=0 com v=(x,y,z)^{T}:
\begin{cases} 4x -2y +3z =0,\\[4pt] 5y + z =0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
A terceira linha não impõe restrição (linha nula). Da segunda equação vem y = -\dfrac{1}{5}z\]. Substituindo na primeira: \[4x -2\Big(-\dfrac{1}{5}z\Big) +3z =0 \quad\Rightarrow\quad 4x + \dfrac{2}{5}z +3z =0.\] Somando os termos em \(z:
\dfrac{2}{5}z + 3z = \dfrac{2}{5}z + \dfrac{15}{5}z = \dfrac{17}{5}z.
Então
4x + \dfrac{17}{5}z =0 \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{17}{20}z.
Escolhendo z=20 (para eliminar denominadores) obtemos
x=-17,\qquad y=-4,\qquad z=20.
Multiplicando por -1 (qualquer múltiplo não-nulo é válido como autovetor) fica mais limpo:
v_{3}=\begin{pmatrix}17\\[4pt]4\\[4pt]-20\end{pmatrix}.
Portanto o espaço próprio associado a \lambda=-2 é gerado por v_{3}.]

Passo 8

Resumo e comentários finais (didáticos e motivadores).
  • Encontramos um autovetor não-nulo para cada autovalor distinto; como temos três autovalores distintos em \mathbb{R}, a matriz tem três autovetores linearmente independentes e é diagonalizável.
  • Sempre que a matriz for triangular, os autovalores aparecem na diagonal. Para achar autovetores, resolve-se (A-\lambda I)v=0; com triangularidade costuma-se resolver por substituição regressiva (resolver da última equação para cima).
Força — você já tem as ferramentas para problemas semelhantes: identifique a triangularidade, use produto dos elementos da diagonal para o determinante, e resolva (A-\lambda I)v=0 escolhendo variáveis livres para parametrizar os autovetores.

Resposta

Polinômio característico: \lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda+12
Autovalores: \lambda=2,\\ \lambda=3,\\ \lambda=-2
Autovetores (espaços próprios geradores):
\lambda=2:\; \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}
\lambda=3:\; \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}
\lambda=-2:\; \begin{pmatrix}17\\[4pt]4\\[4pt]-20\end{pmatrix}]

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