os autovalores (raízes do polinômio característico);
os autovetores associados a cada autovalor.
Informações relevantes fornecidas:
A é uma matriz 3\times3 e é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
Os elementos da diagonal são 2, 3 e -2.]
Passo 2
O que é o polinômio característico e como calculá-lo (passo-a-passo didático).
Definição prática: costuma-se usar o determinante \det(A-\lambda I) ou, alternativamente, o determinante \det(\lambda I - A). Ambos trazem as mesmas raízes; a segunda forma dá um polinômio monico (coeficiente líder 1).
Observação importante sobre matrizes triangulares: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Aplicando isso a A-\lambda I (que permanece triangular), o determinante será o produto dos elementos da diagonal de A-\lambda I.
(Se preferir \det(A-\lambda I), é apenas - vezes esse polinômio, por conta do sinal quando troca-se \lambda I - A por A-\lambda I em dimensão ímpar.)]
Passo 3
Encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico).
A forma fatorada (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+2) dá imediatamente as raízes:
\lambda=2,\qquad \lambda=3,\qquad \lambda=-2.
Cada uma aparece uma única vez no fatoramento, então todas têm multiplicidade algébrica 1. Quando os autovalores são distintos, cada um tem um autovetor não nulo associado e a matriz é diagonalizável.
Passo 4
Como encontrar autovetores (ideia geral e procedimento).
Para um autovalor \lambda, um autovetor v\neq 0 satisfaz (A-\lambda I)v=0.
Isso é um sistema linear homogêneo; a solução é o espaço nulo (núcleo) da matriz A-\lambda I.
Com matrizes triangulares é prático resolver por substituição regressiva (back substitution), começando pela última equação.
Da terceira equação obtemos z=0\]. Substituindo em \(y+z=0 vem y=0. As duas primeiras equações confirmam isso. Não há equação envolvendo x (coeficiente de x é zero nas três linhas), logo x é livre. Tomando x=1 obtemos um autovetor:
A terceira linha não impõe restrição (linha nula). Da segunda equação vem y = -\dfrac{1}{5}z\]. Substituindo na primeira:
\[4x -2\Big(-\dfrac{1}{5}z\Big) +3z =0 \quad\Rightarrow\quad 4x + \dfrac{2}{5}z +3z =0.\]
Somando os termos em \(z:
Portanto o espaço próprio associado a \lambda=-2 é gerado por v_{3}.]
Passo 8
Resumo e comentários finais (didáticos e motivadores).
Encontramos um autovetor não-nulo para cada autovalor distinto; como temos três autovalores distintos em \mathbb{R}, a matriz tem três autovetores linearmente independentes e é diagonalizável.
Sempre que a matriz for triangular, os autovalores aparecem na diagonal. Para achar autovetores, resolve-se (A-\lambda I)v=0; com triangularidade costuma-se resolver por substituição regressiva (resolver da última equação para cima).
Força — você já tem as ferramentas para problemas semelhantes: identifique a triangularidade, use produto dos elementos da diagonal para o determinante, e resolva (A-\lambda I)v=0 escolhendo variáveis livres para parametrizar os autovetores.