Seja T: \quad R^{2} \quad \longrightarrow \quad R^{3} (x, y, z) \longmapsto(x-y, x+y, y+z)
a) Encontre \operatorname{Ker}(T)
b) Encontre uma base para \operatorname{Ker}(T)
c) Encontre uma base para \operatorname{Im}(T)
d) Verifique o teorema do núcleo e imagem.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear (observe que a aplicação mostra três coordenadas de entrada, logo a variável é em \mathbb R^3):
As perguntas pedidas são:
a) Encontrar \operatorname{Ker}(T).
b) Encontrar uma base para \operatorname{Ker}(T).
c) Encontrar uma base para \operatorname{Im}(T).
d) Verificar o teorema do núcleo e imagem (teorema da dimensão: \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\text{domínio})).
Passo 2
O que é pedir o núcleo e como montar as equações.
Definição prática: \operatorname{Ker}(T)=\{v\in\mathbb R^3 \mid T(v)=0\}\). Para \(v=(x,y,z)\) escrevemos a condição \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso dá o sistema de equações (cada coordenada do vetor imagem igual a zero):
\[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema passo a passo (sem pular etapas):
Da primeira equação \;x-y=0\;\] obtemos \(\;x=y\;.
Da segunda equação \;x+y=0\; substituindo x=y temos \;y+y=0\Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0.)
Como x=y, então x=0.
Da terceira equação \;y+z=0\; com y=0 vem z=0.
Portanto a única solução é x=0,\;y=0,\;z=0. Logo
\operatorname{Ker}(T)=\{(0,0,0)\}.]
Passo 3
Base do núcleo e observações sobre dimensão.
O subespaço \operatorname{Ker}(T) é o subespaço zero (contém só o vetor nulo). Lembre que uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o subespaço. Para o subespaço \{0\} o único gerador é o vetor zero, mas o conjunto \{(0,0,0)\} não é uma base porque não é linearmente independente. A convenção padrão é que a base do subespaço zero é o conjunto vazio e a dimensão é zero. Assim:
Uma base de \operatorname{Ker}(T) é o conjunto vazio \varnothing.
\dim(\operatorname{Ker}(T))=0.
Passo 4
Encontrar a imagem e uma base para ela.
Método prático: calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb R^3 e usar-as como colunas da matriz associada a T. Calcule:
Como \det(A)\neq 0, as três colunas são linearmente independentes e a matriz é invertível. Isso implica que \operatorname{Im}(T)=\mathbb R^3 e que as três colunas formam uma base de \mathbb R^3. Portanto uma base para \operatorname{Im}(T) é
\{(1,1,0),\;(-1,1,1),\;(0,0,1)\},
e \dim(\operatorname{Im}(T))=3.]
Passo 5
Verificação do teorema núcleo-imagem (teorema da dimensão, também chamado teorema do núcleo e imagem).
O teorema diz que, para transformação linear T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m,
Aqui \dim(\mathbb R^3)=3. Calculamos \dim(\operatorname{Ker}T)=0 e \dim(\operatorname{Im}T)=3. Portanto
0+3=3,
que coincide com \dim(\mathbb R^3). O teorema está verificado.
Resposta
a) \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0,0)\}
b) base para \operatorname{Ker}(T):\\ \varnothing
c) base para \operatorname{Im}(T):\\ \{(1,1,0),\;(-1,1,1),\;(0,0,1)\}
d) \dim(\operatorname{Ker}T)=0,\\ \dim(\operatorname{Im}T)=3,\\ \dim(\mathbb R^3)=3,\\\ 0+3=3