Seja
T: \quad R^{2} \quad \longrightarrow \quad R^{3}
(x, y, z) \longmapsto(x-y, x+y, y+z)
a) Encontre \operatorname{Ker}(T)
b) Encontre uma base para \operatorname{Ker}(T)
c) Encontre uma base para \operatorname{Im}(T)
d) Verifique o teorema do núcleo e imagem.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear (observe que a aplicação mostra três coordenadas de entrada, logo a variável é em \mathbb R^3):
T:\mathbb R^{3}\longrightarrow\mathbb R^{3},\qquad (x,y,z)\longmapsto (x-y,\;x+y,\;y+z).
As perguntas pedidas são:
a) Encontrar \operatorname{Ker}(T).
b) Encontrar uma base para \operatorname{Ker}(T).
c) Encontrar uma base para \operatorname{Im}(T).
d) Verificar o teorema do núcleo e imagem (teorema da dimensão: \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\text{domínio})í).

Passo 2

O que é pedir o núcleo e como montar as equações.
Definição prática: \operatorname{Ker}(T)=\{v\in\mathbb R^3 \mid T(v)=0\}\). Para \(v=(x,y,z)\) escrevemos a condição \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso dá o sistema de equações (cada coordenada do vetor imagem igual a zero): \[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema passo a passo (sem pular etapas):
  • Da primeira equação \;x-y=0\;\] obtemos \(\;x=y\;.
  • Da segunda equação \;x+y=0\; substituindo x=y temos \;y+y=0\Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0.)
  • Como x=y, então x=0.
  • Da terceira equação \;y+z=0\; com y=0 vem z=0.
Portanto a única solução é x=0,\;y=0,\;z=0. Logo
\operatorname{Ker}(T)=\{(0,0,0)\}.]

Passo 3

Base do núcleo e observações sobre dimensão.
O subespaço \operatorname{Ker}(T) é o subespaço zero (contém só o vetor nulo). Lembre que uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o subespaço. Para o subespaço \{0\} o único gerador é o vetor zero, mas o conjunto \{(0,0,0)\} não é uma base porque não é linearmente independente. A convenção padrão é que a base do subespaço zero é o conjunto vazio e a dimensão é zero. Assim:
  • Uma base de \operatorname{Ker}(T) é o conjunto vazio \varnothing.
  • \dim(\operatorname{Ker}(T))=0.

Passo 4

Encontrar a imagem e uma base para ela.
Método prático: calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb R^3 e usar-as como colunas da matriz associada a T. Calcule:
T(1,0,0)=(1,1,0), \qquad T(0,1,0)=(-1,1,1), \qquad T(0,0,1)=(0,0,1).
A matriz de T na base canônica (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)) é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
A imagem \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1,0),\;(-1,1,1),\;(0,0,1)\}.
Agora precisamos verificar se essas colunas são linearmente independentes (para obter uma base). Uma forma rápida é calcular o determinante de A:
\det(A)= 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule cada determinante menor:
\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1, \qquad \det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot0=1.
Então
\det(A)=1\cdot 1 -(-1)\cdot 1 = 1+1=2\neq 0.
Como \det(A)\neq 0, as três colunas são linearmente independentes e a matriz é invertível. Isso implica que \operatorname{Im}(T)=\mathbb R^3 e que as três colunas formam uma base de \mathbb R^3. Portanto uma base para \operatorname{Im}(T) é
\{(1,1,0),\;(-1,1,1),\;(0,0,1)\},
e \dim(\operatorname{Im}(T))=3.]

Passo 5

Verificação do teorema núcleo-imagem (teorema da dimensão, também chamado teorema do núcleo e imagem).
O teorema diz que, para transformação linear T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m,
\dim(\operatorname{Ker}T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\mathbb R^n).
Aqui \dim(\mathbb R^3)=3. Calculamos \dim(\operatorname{Ker}T)=0 e \dim(\operatorname{Im}T)=3. Portanto
0+3=3,
que coincide com \dim(\mathbb R^3). O teorema está verificado.

Resposta

a) \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0,0)\}
b) base para \operatorname{Ker}(T):\\ \varnothing
c) base para \operatorname{Im}(T):\\ \{(1,1,0),\;(-1,1,1),\;(0,0,1)\}
d) \dim(\operatorname{Ker}T)=0,\\ \dim(\operatorname{Im}T)=3,\\ \dim(\mathbb R^3)=3,\\\ 0+3=3

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