Considere as seguintes matrizes A=\left[\begin{array}{ll}4 & -3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]
(a) Determine os autovalores e autovetores de A, B e C.
Resposta:
Matriz A: autovalores: \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1; autovetores: v_{1}=(3,2), v_{2}=(1,1)
Matriz B: autovalores: \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=5; autovetores: v_{1}=(0,1), v_{2}=(2,1)
Matriz C: autovalores: \left.\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3\right); autovetores: v_{1}=(0,1,0), v_{2}= (-1,2,2) e v_{3}=(-1,1,1)
(b) Encontre uma base para o auto-espaço associado a cada autovalor do item anterior.
(c) Sendo possível, determine a matriz P que diagonaliza estas matrizes.
(a) Determinar os autovalores e autovetores de A, B e C.
(b) Para cada autovalor, encontrar uma base do autoespaço associado.
(c) Quando possível, determinar uma matriz P que diagonalize cada matriz (ou seja, uma P invertível tal que P^{-1}MP=D diagonal).
As informações fornecidas (as próprias matrizes) são todas as que precisamos. A resolução começa calculando polinômios característicos e, a partir deles, os autovalores e autovetores.]
Passo 2
Breve lembrete do método (passo a passo prático e intuitivo).
Um número \lambda é autovalor da matrix M quando existe vetor não nulo v tal que Mv=\lambda v. Isso é equivalente a resolver (M-\lambda I)v=0.
Para encontrar \lambda calculamos o polinômio característico \det(M-\lambda I)=0. As raízes são os autovalores.
Para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear (M-\lambda I)v=0 (fazendo eliminação de linhas) para obter todos os vetores v — esses vetores formam o autoespaço associado a \lambda. Uma base do autoespaço pode ser obtida escolhendo vetores independentes que parametrem a solução.
Se, no total, conseguirmos n autovetores linearmente independentes (para uma matriz n\times n), então a matriz é diagonalizável; escolhemos P cujas colunas são esses autovetores e D é a diagonal com os autovalores na mesma ordem.
Agora aplicamos isso em cada matriz, mostrando todas as contas.
Resolvendo (A-2I)\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0:
a equação é 2x-3y=0. Assim x=\tfrac{3}{2}y. Tomando y=2 (escolha simples para evitar frações) obtemos x=3. Um autovetor é
v_{1}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
O autoespaço associado a \lambda=2 é a reta gerada por v_{1}, então uma base é \{(3,2)\}.
-2x-z=0 ⇒ z=-2x (mesma equação que a primeira, compatível).
Portanto (x,y,z)=x(1,-2,-2). Tomando x=-1 (para coincidir com o vetor dado na sua resposta temos um múltiplo) obtemos
Como os três autovalores são distintos, os três autovetores obtidos são linearmente independentes e C é diagonalizável.]
Passo 6
Construção das matrizes P que diagonalizam cada matriz (escolhendo como colunas os autovetores em uma ordem fixa) e verificação rápida de invertibilidade (determinante não nulo).
Para A: escolha a ordem \lambda=2,\lambda=1 com autovetores correspondentes v_{1}=(3,2) e v_{2}=(1,1). Então