Encontre o polinômio característico, os autovalores e os respectivos subespaços associados de cada uma das matrizes a seguir.
E=[rrr3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1];

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
E = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1
e pede (1) o polinômio característico, (2) os autovalores e (3) os subespaços próprios (autovetores). Vamos usar que, para matriz triangular, o determinante de E - lambda I é o produto dos termos da diagonal principal, e em seguida resolver sistemas lineares para encontrar cada autovetor.

Passo 2

O polinômio característico é
chiE(lambda) = detl(E - lambda Ir) = (3 - lambda),(3 - lambda),(-1 - lambda) = (3 - lambda)^2,(-1 - lambda)

Passo 3

As raízes de chiE(lambda) são os autovalores:
lambda1 = 3(mu<iplicidade 2), lambda2 = -1(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Para resolvemos
Dessas equações surge , enquanto e ficam livres. Logo o subespaço próprio associado a é

Passo 5

Para resolvemos
Dessas equações vem
e .
Tomando , obtemos o vetor , e uma base conveniente é multiplicar por :

Resposta

Polinômio característico:
chiE(lambda) = (3 - lambda)^2,(-1 - lambda)
Autovalores e subespaços próprios:
lambda = 3, E3 = Span(1,0,0),(0,1,0); lambda = -1, E-1 = Span(4,-5,4)

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