Encontre o polinômio característico, os autovalores e os respectivos subespaços associados de cada uma das matrizes a seguir.
F=[lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
F = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
e pede (a) o polinômio característico, (b) os autovalores e (c) os subespaços próprios. Vamos usar o fato de que F é triangular superior, calcular det(F-lambda I) e depois resolver (F-lambda I)x=0.

Passo 2

Para achar o polinômio característico usamos
chiF(lambda)=det(F-lambda I)
Como F é triangular superior, esse determinante é o produto das entradas da diagonal de F-lambda I, ou seja,
chiF(lambda)=(1-lambda)(1-lambda)(1-lambda)=(1-lambda)^3

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiF(lambda)=0. Da expressão (1-lambda)^3=0 segue que
lambda=1
é o único autovalor, com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Agora encontramos o subespaço próprio associado a lambda=1, resolvendo
(F-I)x=0
Note que
F-I = 0 & 2 & 3 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
Escrevendo x=(x1,x2,x3)^T, o sistema (F-I)x=0 dá as equações
2x2 + 3x3 = 0, 2x3 = 0,
e não impõe nada sobre x1. Da segunda equação vem x3=0, depois x2=0. Então x1 é livre e podemos tomar x1=1. Logo todo autovetor é da forma
x = 100t, tinR,
e o subespaço próprio é
E1 = ker(F-I) = spanl(1,0,0)^Tr

Resposta

Polinômio característico: chiF(lambda)=(1-lambda)^3.
Autovalor: lambda=1 (multiplicidade 3).
Subespaço próprio: E1 = span(1,0,0)^T.

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