Questão 13: Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3= (-10,18,7) ?
a) (10,-2,5)
b) (10,2,8)
c) (-2,-1,1)
d) (-1,2,3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3), v3=(-10,18,7)
e pergunta quais dos vetores
(a);(10,-2,5), (b);(10,2,8), (c);(-2,-1,1), (d);(-1,2,3)
estão em spanv1,v2,v3. Vamos usar o conceito de combinação linear e dependência entre v1,v2,v3.

Passo 2

Primeiro vemos que v3 é combinação linear de v1 e v2. De fato, se tentarmos
v3 = alpha,v1 + beta,v2,
procuramos alpha e beta tais que
-10 = 5alpha + 0beta, 18 = -3alpha +4beta, 7 = 1alpha +3beta
Da primeira equação vem alpha=-2. Substituindo em
-3(-2)+4beta=18 6+4beta=18, logo beta=3. Verificamos na terceira: (-2)+3cdot3=7.
Portanto
v3 = -2,v1 + 3,v2,
e assim spanv1,v2,v3=spanv1,v2.

Passo 3

Um vetor genérico (X,Y,Z) está em spanv1,v2 se existem alpha,beta tais que
alpha,(5,-3,1)+beta,(0,4,3)=(X,Y,Z)
Isso gera o sistema
5alpha = X, -3alpha +4beta = Y, alpha +3beta = Z
Da primeira equação alpha = X/5. Então da segunda
4beta = Y + tfrac3X5 Longrightarrow beta = 5Y+3X20,
e da terceira
3beta = Z - tfracX5 Longrightarrow beta = 5Z - X15
Para haver solução, essas duas expressões de beta devem ser iguais:
5Y+3X20 = 5Z - X15 Longrightarrow 15(5Y+3X) = 20(5Z - X) Longrightarrow 13X +15Y -20Z = 0
Logo o teste de pertinência é
13X +15Y -20Z = 0

Passo 4

Aplicamos o teste a cada alternativa:
(a) (10,-2,5):
13cdot10 +15cdot(-2) -20cdot5 = 130 -30 -100 = 0
to pertence.
(b) (10,2,8):
13cdot10 +15cdot2 -20cdot8 = 130 +30 -160 = 0
to pertence.
(c) (-2,-1,1):
13cdot(-2) +15cdot(-1) -20cdot1 = -26 -15 -20 = -61 neq 0
to não pertence.
(d) (-1,2,3):
13cdot(-1) +15cdot2 -20cdot3 = -13 +30 -60 = -43 neq 0
to não pertence.

Resposta

a) e b)

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