Encontre o polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos pontos (0,1),(1,3),(2,2) utilizando o método de Newton com diferenças divididas.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos pontos (0,1), (1,3), (2,2).
Pontos dados (lista de informações relevantes):
\;x_0=0,\; f(x_0)=1
\;x_1=1,\; f(x_1)=3
\;x_2=2,\; f(x_2)=2

Passo 2

Explicação didática do método (diferenças divididas de Newton) — o que é preciso saber antes de calcular:
  • A forma de Newton do polinômio interpolador de grau 2 nos nós x_0,x_1,x_2 é
P(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1).
  • Aqui a_0 é o valor da função no primeiro nó, ou seja a_0=f(x_0).
  • a_1 é a primeira diferença dividida entre x_0 e x_1, definida por
a_1 = f[x_0,x_1] = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
  • a_2 é a segunda diferença dividida entre x_0,x_1,x_2, definida por
a_2 = f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0},
onde f[x_1,x_2]=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Essas diferenças divididas são os coeficientes que entram diretamente na forma de Newton.

Passo 3

Calculando as diferenças divididas com os pontos dados — cálculo passo a passo:
Primeiro, valores zeroth-order (função nos nós):
f(x_0)=1,\quad f(x_1)=3,\quad f(x_2)=2.
Primeiras diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{3-1}{1-0}=\frac{2}{1}=2.
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{2-3}{2-1}=\frac{-1}{1}=-1.
Segunda diferença dividida:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-1-2}{2-0}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 4

Determinar os coeficientes a_0,a_1,a_2 e escrever a forma de Newton com esses coeficientes:
a_0=f(x_0)=1,
a_1=f[x_0,x_1]=2,
a_2=f[x_0,x_1,x_2]=-\frac{3}{2}.
Substituindo na forma de Newton (com x_0=0 e x_1=1):
P(x)=1 + 2(x-0) -\frac{3}{2}(x-0)(x-1).

Passo 5

Expandir a expressão passo a passo (álgebra explícita, sem pular etapas):
Calcule (x-0)(x-1)=x^2-x. Multiplicando por -\dfrac{3}{2} obtemos
-\frac{3}{2}(x^2-x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{2}x.
Agora some os termos lineares e constante que restam (lembrando que temos também 2(x-0)=2x e o termo constante 1):
termo em x^2: -\dfrac{3}{2}x^2.
termo em x: \dfrac{3}{2}x + 2x = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{4}{2}x = \dfrac{7}{2}x.
termo constante: 1.

Passo 6

Verificação rápida de que o polinômio na forma de Newton passa pelos três pontos (usar a forma de Newton para avaliar, assim não repetimos a forma final simplificada):
Usando P(x)=1 + 2x -\dfrac{3}{2}x(x-1):
Para x=0:
P(0)=1 + 2\cdot 0 -\frac{3}{2}\cdot 0\cdot(-1)=1.
Para x=1:
P(1)=1 + 2\cdot 1 -\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 0=1+2=3.
Para x=2:
P(2)=1 + 2\cdot 2 -\frac{3}{2}\cdot 2\cdot 1 =1+4-3=2.
Os valores coincidem com os dados (0,1),(1,3),(2,2), logo a interpolação está correta.

Resposta

P(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x+1

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