Encontre o polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos pontos
utilizando o método de Newton com diferenças divididas.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio interpolador de grau
que passa pelos pontos
.
Pontos dados (lista de informações relevantes):
Pontos dados (lista de informações relevantes):
Passo 2
Explicação didática do método (diferenças divididas de Newton) — o que é preciso saber antes de calcular:
- A forma de Newton do polinômio interpolador de grau
nos nós é
- Aqui
é o valor da função no primeiro nó, ou seja . -
é a primeira diferença dividida entre e , definida por
-
é a segunda diferença dividida entre , definida por
onde
.
Essas diferenças divididas são os coeficientes que entram diretamente na forma de Newton.
Essas diferenças divididas são os coeficientes que entram diretamente na forma de Newton.
Passo 3
Calculando as diferenças divididas com os pontos dados — cálculo passo a passo:
Primeiro, valores zeroth-order (função nos nós):
Primeiro, valores zeroth-order (função nos nós):
Primeiras diferenças divididas:
Segunda diferença dividida:
Passo 4
Determinar os coeficientes
e escrever a forma de Newton com esses coeficientes:
Substituindo na forma de Newton (com
e
):
Passo 5
Expandir a expressão passo a passo (álgebra explícita, sem pular etapas):
Calcule . Multiplicando por
obtemos
Calcule
Agora some os termos lineares e constante que restam (lembrando que temos também
e o termo constante
):
termo em :
.
termo em :
.
termo constante: .
termo em
termo em
termo constante:
Passo 6
Verificação rápida de que o polinômio na forma de Newton passa pelos três pontos (usar a forma de Newton para avaliar, assim não repetimos a forma final simplificada):
Usando :
Usando
Para
:
Para
:
Para
:
Os valores coincidem com os dados
, logo a interpolação está correta.