Descreva os princípios por trás das Regras do Trapézio e de Simpson para integração numérica. Qual é a ordem de precisão de cada uma?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Descrever os princípios por trás da Regra do Trapézio e da Regra de Simpson para integrar numericamente uma função.
  2. Informar qual é a ordem de precisão (ou seja, como o erro decresce com o passo) de cada uma.
Informações implícitas que usaremos (não pedidas, mas necessárias):
  • Trabalhamos com uma função suficientemente suave em um intervalo [a,b] (vamos indicar quais derivadas precisam existir em cada caso).
  • Quando falarmos de versões compostas, vamos dividir [a,b] em n subintervalos iguais de largura h=(b-a)/n. Para Simpson, assumiremos que n é par (regra necessária para aplicar Simpson composto).

Passo 2

Princípio da Regra do Trapézio — ideia geométrica e fórmula básica.
  • Ideia: aproximar a função f(x) em cada subintervalo por uma reta (interpolador linear) e calcular a área sob essa reta (um trapézio). Para o intervalo único [a,b] a aproximação é a área do trapézio com lados f(a) e f(b).
  • Fórmula (aplicação simples em um intervalo [a,b]):
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
  • Derivação rápida (intuição/computação): se aproximarmos f por L(x), a reta que interpola (a,f(a)) e (b,f(b)), então
L(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),
e integrar L(x) em [a,b] dá exatamente a expressão acima (área do trapézio).

Passo 3

Erro da Regra do Trapézio (intervalo único) — derivação via expansão de Taylor.
  • Expansão de Taylor de f em torno de a até terceira ordem (com resto): para algum \xi\in(a,b),
f(b)=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^2+\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}h^3,
onde h=b-a.
  • A integral exata em [a,b] pode ser expandida:
\int_a^b f(x)\,dx = f(a)h + \frac{f'(a)}{2}h^2 + \frac{f''(a)}{6}h^3 + \frac{f^{(3)}(\tilde{\xi})}{24}h^4.
  • A aproximação do trapézio é
\frac{h}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr) = f(a)h + \frac{f'(a)}{2}h^2 + \frac{f''(a)}{4}h^3 + \text{(termos de ordem maior)}.
  • Subtraindo, obtemos o termo dominante do erro:
\text{Erro}_{\text{trap, local}} = -\frac{f''(a)}{12}h^3 + O(h^4).
Usando forma média do resto, existe \xi\in(a,b) tal que
\int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr) = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi).
  • Interpretação: o erro local (por um subintervalo de largura h) é da ordem O(h^3).

Passo 4

Regra do Trapézio composta e ordem global.
  • Dividindo [a,b] em n subintervalos de largura h=(b-a)/n e somando a aproximação em cada subintervalo (trapézio composto), a fórmula fica
\int_a^b f(x)\,dx \approx T_n = \frac{h}{2}\bigl(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\bigr),
onde x_j=a+jh.
  • Soma dos erros locais (cada um O(h^3)) sobre n subintervalos dá um erro global O(n h^3). Como n=(b-a)/h, isso dá erro global proporcional a h^2:
\text{Erro}_{\text{trap, global}} = -\frac{(b-a)}{12}h^2 f''(\xi)
para algum \xi\in(a,b). Em notação assintótica:
\text{Erro}_{\text{trap, global}} = O(h^2).
  • Condição de suavidade: precisa existir f'' contínua em [a,b] para garantir essa estimativa.

Passo 5

Princípio da Regra de Simpson — ideia e fórmula.
  • Ideia: aproximar f(x) por um polinômio quadrático em cada par de subintervalos adjacentes (ou, visto de forma prática, usar os pontos (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)) com x_1 o ponto médio) e integrar esse polinômio exatamente. Isso dá pesos 1,4,1.
  • Fórmula (aplicação simples em dois subintervalos iguais: pontos x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h=b):
\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Obs.: muitas vezes se escreve com H=b-a=2h como \frac{H}{6}(f(a)+4f(\tfrac{a+b}{2})+f(b)); ambas formas equivalem.

Passo 6

Erro da Regra de Simpson (intervalo de duas subintervalos) — ideia via interpolador e resto.
  • Simpson é exato para polinômios até grau 3 (grau de precisão 3). O termo de erro envolve a quarta derivada de f.
  • Existe \xi\in[a,b] tal que, para H=b-a,
\int_a^b f(x)\,dx - \frac{H}{6}\bigl(f(a)+4f(\tfrac{a+b}{2})+f(b)\bigr) = -\frac{H^5}{2880} f^{(4)}(\xi).
  • Em termos do passo h usado na forma com três pontos (onde H=2h), o erro local é O(h^5). Portanto o erro por “aplicação” de Simpson (em dois subintervalos de largura h) é da ordem h^5.

Passo 7

Simpson composto e ordem global.
  • Aplicando Simpson de forma composta em n subintervalos (com n par) e somando as contribuições, obtemos a fórmula do Simpson composto:
\int_a^b f(x)\,dx \approx S_n = \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+4\sum_{j\\ \text{ímpar}} f(x_j)+2\sum_{j\\ \text{par},\,j\neq0,n} f(x_j)+f(x_n)\Bigr).í
  • O erro local por par de subintervalos é O(h^5). Há cerca de n/2 aplicações independentes em todo o intervalo, então o erro global se escala como (n/2)h^5. Com n\approx (b-a)/h concluímos que o erro global é O(h^4). Mais precisamente, existe \xi\in(a,b) tal que
\text{Erro}_{\text{Simpson, global}} = -\frac{(b-a)}{180} h^4 f^{(4)}(\xi).
  • Condição de suavidade: precisa existir f^{(4)} contínua em [a,b] para essa estimativa.

Passo 8

Interpretação prática, comparação e exemplos simples.
  • Ordens (resumo intuitivo):
    • Trapézio composto: erro global O(h^2). Em linguagem de “ordem de precisão”, diz-se que a regra do trapézio tem ordem 2.
    • Simpson composto: erro global O(h^4). Em linguagem de “ordem de precisão”, Simpson tem ordem 4.
  • Exemplo rápido para fixar a ideia:
    • Se f é um polinômio de grau \le 1, a Regra do Trapézio dá resultado exato (grau de precisão 1).
    • Se f é um polinômio de grau \le 3, a Regra de Simpson dá resultado exato (grau de precisão 3).
  • Consequência prática: para funções suaves, Simpson geralmente convergirá muito mais rápido quando h diminui (erro cai como h^4 em vez de h^2), mas Simpson exige número par de subintervalos e avalia mais pontos (mais custos por passo). Trapézio é mais simples e às vezes suficiente se f for quase linear localmente.

Passo 9

Dicas de prova e uso em avaliação (uma ajudinha para a prova, sem pular passos).
  • Se precisar justificar a ordem numa prova: mostre que o erro local (um intervalo) é O(h^3) para trapézio e O(h^5) para Simpson, e então passe para o erro global somando sobre n intervalos; usar expansão de Taylor ou o resto da interpolação de Lagrange é o caminho mais direto.
  • Lembre-se de mencionar as hipóteses sobre derivadas ( f'' contínua para trapézio; f^{(4)} contínua para Simpson) quando afirmar as fórmulas de erro.

Resposta

Regra do Trapézio: ordem de precisão 2 (erro global =\;O(h^2), com erro local =\;O(h^3); fórmula de erro composta \displaystyle -\frac{(b-a)}{12}h^2 f''(\xi)).\nRegra de Simpson: ordem de precisão 4 (erro global =\;O(h^4), com erro local =\;O(h^5); fórmula de erro composta \displaystyle -\frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)).

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