Descreva os princípios por trás das Regras do Trapézio e de Simpson para integração numérica. Qual é a ordem de precisão de cada uma?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Descrever os princípios por trás da Regra do Trapézio e da Regra de Simpson para integrar numericamente uma função.
- Informar qual é a ordem de precisão (ou seja, como o erro decresce com o passo) de cada uma.
Informações implícitas que usaremos (não pedidas, mas necessárias):
- Trabalhamos com uma função suficientemente suave em um intervalo
(vamos indicar quais derivadas precisam existir em cada caso). - Quando falarmos de versões compostas, vamos dividir
em subintervalos iguais de largura . Para Simpson, assumiremos que é par (regra necessária para aplicar Simpson composto).
Passo 2
Princípio da Regra do Trapézio — ideia geométrica e fórmula básica.
- Ideia: aproximar a função
em cada subintervalo por uma reta (interpolador linear) e calcular a área sob essa reta (um trapézio). Para o intervalo único a aproximação é a área do trapézio com lados e . - Fórmula (aplicação simples em um intervalo
):
- Derivação rápida (intuição/computação): se aproximarmos
por , a reta que interpola e , então
e integrar
em
dá exatamente a expressão acima (área do trapézio).
Passo 3
Erro da Regra do Trapézio (intervalo único) — derivação via expansão de Taylor.
- Expansão de Taylor de
em torno de até terceira ordem (com resto): para algum ,
onde
.
- A integral exata em
pode ser expandida:
- A aproximação do trapézio é
- Subtraindo, obtemos o termo dominante do erro:
Usando forma média do resto, existe
tal que
- Interpretação: o erro local (por um subintervalo de largura
) é da ordem .
Passo 4
Regra do Trapézio composta e ordem global.
- Dividindo
em subintervalos de largura e somando a aproximação em cada subintervalo (trapézio composto), a fórmula fica
onde
.
- Soma dos erros locais (cada um
) sobre subintervalos dá um erro global . Como , isso dá erro global proporcional a :
para algum
. Em notação assintótica:
- Condição de suavidade: precisa existir
contínua em para garantir essa estimativa.
Passo 5
Princípio da Regra de Simpson — ideia e fórmula.
- Ideia: aproximar
por um polinômio quadrático em cada par de subintervalos adjacentes (ou, visto de forma prática, usar os pontos com o ponto médio) e integrar esse polinômio exatamente. Isso dá pesos . - Fórmula (aplicação simples em dois subintervalos iguais: pontos
, , ):
Obs.: muitas vezes se escreve com
como
; ambas formas equivalem.
Passo 6
Erro da Regra de Simpson (intervalo de duas subintervalos) — ideia via interpolador e resto.
- Simpson é exato para polinômios até grau
(grau de precisão 3). O termo de erro envolve a quarta derivada de . - Existe
tal que, para ,
- Em termos do passo
usado na forma com três pontos (onde ), o erro local é . Portanto o erro por “aplicação” de Simpson (em dois subintervalos de largura ) é da ordem .
Passo 7
Simpson composto e ordem global.
- Aplicando Simpson de forma composta em
subintervalos (com par) e somando as contribuições, obtemos a fórmula do Simpson composto:
- O erro local por par de subintervalos é
. Há cerca de aplicações independentes em todo o intervalo, então o erro global se escala como . Com concluímos que o erro global é . Mais precisamente, existe tal que
- Condição de suavidade: precisa existir
contínua em para essa estimativa.
Passo 8
Interpretação prática, comparação e exemplos simples.
- Ordens (resumo intuitivo):
- Trapézio composto: erro global
. Em linguagem de “ordem de precisão”, diz-se que a regra do trapézio tem ordem . - Simpson composto: erro global
. Em linguagem de “ordem de precisão”, Simpson tem ordem .
- Trapézio composto: erro global
- Exemplo rápido para fixar a ideia:
- Se
é um polinômio de grau , a Regra do Trapézio dá resultado exato (grau de precisão 1). - Se
é um polinômio de grau , a Regra de Simpson dá resultado exato (grau de precisão 3).
- Se
- Consequência prática: para funções suaves, Simpson geralmente convergirá muito mais rápido quando
diminui (erro cai como em vez de ), mas Simpson exige número par de subintervalos e avalia mais pontos (mais custos por passo). Trapézio é mais simples e às vezes suficiente se for quase linear localmente.
Passo 9
Dicas de prova e uso em avaliação (uma ajudinha para a prova, sem pular passos).
- Se precisar justificar a ordem numa prova: mostre que o erro local (um intervalo) é
para trapézio e para Simpson, e então passe para o erro global somando sobre intervalos; usar expansão de Taylor ou o resto da interpolação de Lagrange é o caminho mais direto. - Lembre-se de mencionar as hipóteses sobre derivadas (
contínua para trapézio; contínua para Simpson) quando afirmar as fórmulas de erro.
Resposta
Regra do Trapézio: ordem de precisão
(erro global
, com erro local
; fórmula de erro composta
).\nRegra de Simpson: ordem de precisão
(erro global
, com erro local
; fórmula de erro composta
).