Encontre um polinômio P(x) de menor grau, com coeficientes inteiros, tal que 35 e-3-2 i sejam zeros.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio P(x) de menor grau, com coeficientes inteiros, cujas raízes são
35,;-3-2i
Para coeficientes inteiros e grau mínimo, vamos usar que, se uma raiz complexa a+bi aparece, sua conjugada a-bi também aparece.

Passo 2

Listamos todas as raízes necessárias:
r1 = 35, r2 = -3 - 2i, r3 = -3 + 2i

Passo 3

Escrevemos os fatores lineares correspondentes:
(x - r1), (x - r2), (x - r3)
Para eliminar o denominador em r1, multiplicamos o primeiro fator por 5, ficando
5l(x - tfrac35r) = 5x - 3

Passo 4

As raízes complexas conjugadas geram o fator quadrático
(x - r2)(x - r3) = (x + 3 + 2i)(x + 3 - 2i) = (x+3)^2 - (2i)^2 = (x+3)^2 + 4

Passo 5

O polinômio procurado, até constante em Z, é
P(x) = (5x - 3)l((x+3)^2 + 4r)
Agora expandimos:
(x+3)^2 + 4 = x^2 + 6x + 9 + 4 = x^2 + 6x +13,
P(x) = (5x - 3)(x^2 + 6x +13) = 5x^3 +30x^2 +65x ;-;3x^2 -18x -39
P(x) = 5x^3 +27x^2 +47x -39

Resposta

P(x)=5x^3+27x^2+47x-39

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