Seja f: X Y uma função.
Se f é injetiva e X é enumerável, então Y é enumerável? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função fcolon Xto Y injetiva e que X é enumerável (isto é, finito ou equipolente a N). Pergunta-se se disso segue que Y também é enumerável. Para responder usamos noções de cardinalidade, injeção e enumerabilidade.

Passo 2

Por definição de injeção, f estabelece uma bijeção entre X e a sua imagem f(X)subseteq Y. Logo l|f(X)r| = |X|. Como X é enumerável, l|f(X)r|<=a<=ph0, ou seja, a parte f(X) de Y é enumerável.

Passo 3

No entanto, Y pode conter elementos fora da imagem de f. Mesmo que f(X) seja enumerável, nada impede que Ysetminus f(X) seja um conjunto não enumerável. Assim não se pode concluir que l|Yr|<=a<=ph0.

Passo 4

Para ilustrar, basta um contraexemplo: seja X=N, Y=R e defina f(n)=n. Então f é injetiva e X é enumerável, mas Y=R é não enumerável.

Resposta

Não, Y não precisa ser enumerável. O que é enumerável é apenas a imagem f(X), mas Y inteiro pode ser estritamente maior (por exemplo Y=R).

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