Seja uma função.
Se é injetiva e é enumerável, então é enumerável? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função injetiva e que é enumerável (isto é, finito ou equipolente a ). Pergunta-se se disso segue que também é enumerável. Para responder usamos noções de cardinalidade, injeção e enumerabilidade.
Passo 2
Por definição de injeção, estabelece uma bijeção entre e a sua imagem . Logo . Como X é enumerável, l|f(X)r|<=a<=ph0, ou seja, a parte f(X) de Y é enumerável.
Passo 3
No entanto, Y pode conter elementos fora da imagem de f. Mesmo que f(X) seja enumerável, nada impede que Ysetminus f(X) seja um conjunto não enumerável. Assim não se pode concluir que l|Yr|<=a<=ph0.
Passo 4
Para ilustrar, basta um contraexemplo: seja X=N, Y=R e defina f(n)=n. Então f é injetiva e X é enumerável, mas Y=R é não enumerável.
Resposta
Não, Y não precisa ser enumerável. O que é enumerável é apenas a imagem f(X), mas Y inteiro pode ser estritamente maior (por exemplo Y=R).