Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(2 a^3 bx^2 y-3 x y^24 a b^2)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois refatorar o cubo de uma diferença. O conteúdo aqui é a fórmula do cubo de um binômio, que diz que, para \r
A e B, \r
(A - B)^3 ;=; A^3 ;-; 3A^2B ;+; 3AB^2 ;-; B^3 \r
Identificamos A e B na expressão dada para usar essa fórmula.

Passo 2

Definimos\r
A = 2a^3bx^2y, B = 3xy^24ab^2 \r
Vamos calcular cada termo da expansão (A - B)^3.

Passo 3

Calculamos os quatro termos:\r
\r
  1. A^3: \r
A^3 = l(2a^3bx^2yr)^3 = 8,a^9,b^3x^6,y^3 \r
\r
2. -3A^2B:\r
A^2 = l(2a^3bx^2yr)^2 = 4,a^6,b^2x^4,y^2, A^2B = 4,a^6,b^2x^4,y^2,cdot,3xy^24ab^2 = 3,a^5x^3,
-3A^2B = -3cdot 3,a^5x^3 = -9,a^5x^3 \r
\r
3. 3AB^2:\r
B^2 = l(3xy^24ab^2r)^2 = 9,x^2,y^416,a^2,b^4, AB^2 = 2a^3bx^2y,cdot,9x^2y^416a^2b^4 = 98,a,y^3b^3,
3AB^2 = 3cdot 98,a,y^3b^3 = 278,a,y^3b^3 \r
\r
4. -B^3:\r
B^3 = l(3xy^24ab^2r)^3 = 27,x^3,y^664,a^3,b^6, -B^3 = -27,x^3,y^664,a^3,b^6

Passo 4

Somando todos os termos, obtemos a expansão:\r
l(2a^3bx^2y - 3xy^24ab^2r)^3 = 8,a^9,b^3x^6,y^3 - 9,a^5x^3 + 278,a,y^3b^3 - 27,x^3,y^664,a^3,b^6

Passo 5

Para refatorar, observamos que a expressão resultante é exatamente da forma de um cubo de diferença, logo podemos reescrevê-la como\r
l(2a^3bx^2y - 3xy^24ab^2r)^3, \r
que é a expressão original.

Resposta

(a) A expansão é \r
8,a^9,b^3x^6,y^3 - 9,a^5x^3 + 278,a,y^3b^3 - 27,x^3,y^664,a^3,b^6 \r
(b) Refatorando, volta-se ao cubo de diferença \r
l(2a^3bx^2y - 3xy^24ab^2r)^3

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