Encontre o polinômio quadrático que interpola os pontos dados.
(a) (1,2),(3,3) e (5,8).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio quadrático
p(x)=ax^2+bx+c
que satisfaça
(1,2), (3,3) e (5,8).
O conteúdo aqui é interpolação por sistema linear: vamos montar três equações em a,b,c.

Passo 2

Substituindo cada ponto em p(x)=ax^2+bx+c, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b + c = 2,\\\\ 9a + 3b + c = 3,\\\\ 25a + 5b + c = 8. \end{cases}

Passo 3

Eliminamos c fazendo diferença entre as equações. Da segunda menos a primeira:
(9a+3b+c)-(a+b+c)=8a+2b=1.
Da terceira menos a segunda:
(25a+5b+c)-(9a+3b+c)=16a+2b=5.
Subtraindo essas duas novas equações:
(16a+2b)-(8a+2b)=8a=4 \quad\Rightarrow\quad a=\tfrac12.
Em seguida, de 8a+2b=1:
8\cdot\tfrac12+2b=1 \quad\Rightarrow\quad 4+2b=1 \quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac32.

Passo 4

Usando a=\tfrac12 e b=-\tfrac32 na primeira equação a+b+c=2:
\tfrac12 - \tfrac32 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad -1 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad c = 3.

Resposta

p(x)=\tfrac12x^2-\tfrac32x+3.

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