Encontre o polinômio cúbico que interpola os pontos dados.
(a) (-1,-6),(1,0),(2,8) e (3,34).

Passo 1

Queremos achar um polinômio cúbico
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
que passe por (-1,-6), (1,0), (2,8) e (3,34). Vamos montar um sistema de quatro equações em a,b,c,d.

Passo 2

Substituindo cada ponto em f(x) e eliminando d por diferenças, obtemos
(1) -a + b - c + d = -6
(2) a + b + c + d = 0
(3) 8a +4b +2c + d = 8
(4) 27a+9b +3c + d = 34
Fazendo (2) -(1):
a+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=3-a.
Fazendo (3) -(2):
7a+3b+c=8.
Fazendo (4) -(3):
19a+5b+c=26.

Passo 3

Substituindo c=3-a nas duas últimas:
7a+3b+(3-a)=8\quad\Longrightarrow\quad6a+3b=5\quad\Longrightarrow\quad2a+b=\tfrac{5}{3},
19a+5b+(3-a)=26\quad\Longrightarrow\quad18a+5b=23.
Da primeira b=\tfrac{5}{3}-2a. Substituindo na segunda:
18a+5\bigl(\tfrac{5}{3}-2a\bigr)=23 \quad\Longrightarrow\quad8a=\tfrac{44}{3} \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac{11}{6},
e então
b=\tfrac{5}{3}-2\cdot\tfrac{11}{6}=-2.

Passo 4

Agora c=3-a=3-\tfrac{11}{6}=\tfrac{7}{6}. Para d, use (2):
a+b+c+d=0 \quad\Longrightarrow\quad\tfrac{11}{6}-2+\tfrac{7}{6}+d=0 \quad\Longrightarrow\quad d=-1.

Passo 5

Pronto, o polinômio é
f(x)=\frac{11}{6}x^{3}-2x^{2}+\frac{7}{6}x-1.

Resposta

f(x)=\frac{11}{6}x^{3}-2x^{2}+\frac{7}{6}x-1.

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