Encontre o polinômio de Taylor T3(x) da função f centrado no número a.
f(x)=e^-x sen x, a=0

Passo 1

O enunciado nos pede o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x)=e^-xsin x em a=0. O conteúdo é o desenvolvimento de Taylor em torno de zero, cuja fórmula é
T3(x)=sumk=0^3f^(k)(0)k!,x^k
Logo precisamos encontrar f(0), f'(0), f''(0) e f'''(0).

Passo 2

Calcular f(0) e f'(x).
Temos f(x)=u(x)v(x) com u(x)=e^-x e v(x)=sin x. Pela regra do produto,
u'(x)=-e^-x, v'(x)=cos x,
então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =-e^-xsin x+e^-xcos x =e^-x(cos x-sin x)
Em x=0, sin0=0, cos0=1, e^0=1, logo
f(0)=0, f'(0)=1

Passo 3

Calcular f''(x) e f''(0).
Como
f'(x)=e^-xcos x - e^-xsin x,
derivamos cada termo (regra do produto) e obtemos
f''(x)=-2,e^-xcos x
Em x=0, resulta
f''(0)=-2

Passo 4

Calcular f'''(x) e f'''(0).
Derivando f''(x)=-2e^-xcos x pela regra do produto, vem
f'''(x)=2,e^-x(cos x+sin x)
Em x=0, temos
f'''(0)=2

Passo 5

Substituir na fórmula de Taylor:
T3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3 =0+1cdot x+-22x^2+26x^3 =x - x^2 + x^33

Resposta

T3(x)=x - x^2 + x^33

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