Encontre a derivada de
r(x)=cos xx^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função r(x) = cos xx^2 . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que são quocientes. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função r(x) de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar r(x) como um produto:
r(x) = cos x cdot x^-2

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que, se temos duas funções u(x) e v(x) , então a derivada de u(x)v(x) é:
u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
No nosso caso, u(x) = cos x e v(x) = x^-2 .

Passo 4

Vamos derivar cada uma das funções u(x) e v(x) .
Derivada de u(x) = cos x :
u'(x) = -sin x
Derivada de v(x) = x^-2 :
v'(x) = -2x^-3

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
r'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
r'(x) = (-sin x) cdot x^-2 + cos x cdot (-2x^-3)

Passo 6

Simplificando a expressão:
r'(x) = -sin xx^2 - 2cos xx^3

Resposta

A derivada de r(x) = cos xx^2 é:
r'(x) = -sin xx^2 - 2cos xx^3

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