O ponto
está sobre a curva
.
a) Se
é o ponto
, encontre a inclinação da reta secante
para os seguintes valores de
:
b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto
.
c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em
.
i) 2
ii) 1,5
iii) 1,1
iv) 1,01
v) 1,001
vi) 0
vii) 0,5
viii) 0,9
ix) 0,99
x) 0,999
a) Se
b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto
c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em
i) 2
ii) 1,5
iii) 1,1
iv) 1,01
v) 1,001
vi) 0
vii) 0,5
viii) 0,9
ix) 0,99
x) 0,999
Passo 1
O enunciado dá a curva
e o ponto
sobre ela. Queremos (a) as inclinações das retas secantes
onde
para vários valores de
; (b) estimar a inclinação da reta tangente em
a partir desses valores; (c) usar essa inclinação para obter a equação da reta tangente em
. O conteúdo é o quociente de diferença e o conceito de derivada como limite de inclinações de secantes.
Passo 2
Para
a inclinação da secante
é o quociente de diferença
Passo 3
Substituindo cada valor de
em
, obtemos:
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
;
para ,
.
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
Passo 4
À medida que
,
. Logo a inclinação da reta tangente à curva em
é
Passo 5
Usando a forma ponto-inclinação para a reta em
com coeficiente angular
:
que, ao simplificar, dá
Resposta
a) As inclinações das secantes são
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
b) A inclinação da reta tangente em é
.
c) A equação da reta tangente em é
b) A inclinação da reta tangente em
c) A equação da reta tangente em