O ponto P(1,3) está sobre a curva y=1+x+x^2.
a) Se Q é o ponto (x, 1+x+x^2), encontre a inclinação da reta secante P Q para os seguintes valores de x :
b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P(1,3).
c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em P(1,3).
i) 2
ii) 1,5
iii) 1,1
iv) 1,01
v) 1,001
vi) 0
vii) 0,5
viii) 0,9
ix) 0,99
x) 0,999

Passo 1

O enunciado dá a curva y=1+x+x^2 e o ponto P(1,3) sobre ela. Queremos (a) as inclinações das retas secantes PQ onde Q=(x,1+x+x^2) para vários valores de x; (b) estimar a inclinação da reta tangente em P a partir desses valores; (c) usar essa inclinação para obter a equação da reta tangente em P. O conteúdo é o quociente de diferença e o conceito de derivada como limite de inclinações de secantes.

Passo 2

Para xneq1 a inclinação da secante PQ é o quociente de diferença
mPQ=f(x)-f(1)x-1 =l(1+x+x^2r)-3x-1 =x^2+x-2x-1 =(x-1)(x+2)x-1 =x+2

Passo 3

Substituindo cada valor de x em mPQ=x+2, obtemos:
para x=2, mPQ=4;
para x=1,5, mPQ=3,5;
para x=1,1, mPQ=3,1;
para x=1,01, mPQ=3,01;
para x=1,001, mPQ=3,001;
para x=0, mPQ=2;
para x=0,5, mPQ=2,5;
para x=0,9, mPQ=2,9;
para x=0,99, mPQ=2,99;
para x=0,999, mPQ=2,999.

Passo 4

À medida que xto1, mPQ=x+2to3. Logo a inclinação da reta tangente à curva em P(1,3) é
mtan=3

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação para a reta em P(1,3) com coeficiente angular 3:
y-3=3,(x-1),
que, ao simplificar, dá
y=3x

Resposta

a) As inclinações das secantes são
mPQ(2)=4, mPQ(1,5)=3,5, mPQ(1,1)=3,1, mPQ(1,01)=3,01, mPQ(1,001)=3,001, mPQ(0)=2, mPQ(0,5)=2,5, mPQ(0,9)=2,9, mPQ(0,99)=2,99, mPQ(0,999)=2,999.
b) A inclinação da reta tangente em P é 3.
c) A equação da reta tangente em P é
y-3=3(x-1)ou y=3x

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