O ponto P(-1,3) está sobre a curva y=1-2 x^3.
a) Se Q é o ponto (x, 1-2 x^3), encontre a inclinação da reta secante P Q para os seguintes valores de x :
b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P(-1,3).
c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em P(-1,3).
i) -2
ii) -1,5
iii) -1,1
iv) -1,01
v) -1,001
vi) 0
vii) -0,5
viii) -0,9
ix) -0,99
x) -0,999

Passo 1

O enunciado dá a curva y = 1 - 2x^3 e o ponto P(-1,3) sobre ela. Para um ponto genérico Q=(x,,1-2x^3), queremos a inclinação da reta secante PQ, depois usar esses valores para estimar a inclinação da reta tangente em P e, por fim, obter a equação dessa reta.

Passo 2

Definimos f(x)=1-2x^3 e calculamos
f(-1)=1-2(-1)^3=1+2=3
A inclinação da secante é
msec(x)=f(x)-f(-1)x-(-1) =1-2x^3-3x+1 =-2(x^3+1)x+1
Como x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), segue
msec(x)=-2,(x^2-x+1)

Passo 3

Usamos msec(x)=-2(x^2-x+1) para valores mais distantes de -1:
Para x=-2,
msec(-2)=-2l(4+2+1r)=-2cdot7=-14
Para x=-1,5,
msec(-1,5)=-2l(2,25+1,5+1r)=-2cdot4,75=-9,5
Para x=-0,5,
msec(-0,5)=-2l(0,25+0,5+1r)=-2cdot1,75=-3,5
Para x=0,
msec(0)=-2l(0-0+1r)=-2

Passo 4

Calculamos agora msec(x) para x próximos de -1:
Para x=-1,1,
msec(-1,1)=-2l(1,21+1,1+1r)=-2cdot3,31=-6,62
Para x=-1,01,
msec(-1,01)=-2l(1,0201+1,01+1r)=-2cdot3,0301=-6,0602
Para x=-1,001,
msec(-1,001)=-2l(1,002001+1,001+1r)=-2cdot3,003001=-6,006002
Para x=-0,9,
msec(-0,9)=-2l(0,81+0,9+1r)=-2cdot2,71=-5,42
Para x=-0,99,
msec(-0,99)=-2l(0,9801+0,99+1r)=-2cdot2,9701=-5,9402
Para x=-0,999,
msec(-0,999)=-2l(0,998001+0,999+1r)=-2cdot2,997001=-5,994002
Vê-se que, à medida que xto -1, msec(x)to -6.

Passo 5

O valor da inclinação da reta tangente em P é o limite
mtan=limxto -1msec(x)=-6

Passo 6

Usando a forma ponto-inclinação com P(-1,3) e m=-6:
y-3=-6l(x+1r) Longrightarrow y=-6x-3

Resposta

a)
  • x=-2: m=-14
  • x=-1,5: m=-9,5
  • x=-1,1: m=-6,62
  • x=-1,01: m=-6,0602
  • x=-1,001: m=-6,006002
  • x=0: m=-2
  • x=-0,5: m=-3,5
  • x=-0,9: m=-5,42
  • x=-0,99: m=-5,9402
  • x=-0,999: m=-5,994002
b) Inclinação da reta tangente em P: -6.
c) Equação da reta tangente:
y = -6x - 3

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