Encontre o polinômio de Taylor de oitavo grau, centrado em
, para a função
. Faça os gráficos de
junto com os polinômios de Taylor
, considerando
. Comente quão bem eles aproximam
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de oitavo grau para a função $ f(x) = \cos x $, centrado em $ a = 0 $. Isso está ligado ao estudo de séries de Taylor na matemática, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor e saber calcular derivadas da função $ \cos x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau $ n $ para uma função $ f(x) $ centrada em $ a $:
Como nosso centro é $ a = 0 $, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \cos x $ e avaliar em $ x = 0 $. A função $ \cos x $ tem derivadas que seguem um ciclo:
E isso se repete a cada 4 derivadas. Avaliando em $ x = 0 $:
Passo 4
Notamos que apenas as derivadas de ordem par não são zero. Então, para o polinômio de Taylor de oitavo grau, vamos considerar somente os termos com potências pares:
Vamos calcular os coeficientes:
Então, o polinômio fica:
Passo 5
Agora, para visualizar como esse polinômio aproxima a função $ \cos x $, vamos plotar $ f(x) = \cos x $ juntamente com os polinômios de Taylor de graus 2, 4, 6 e 8 no intervalo $ -5 \leq x \leq 5 $ e $ -1.4 \leq y \leq 1.4 $. Quanto maior o grau do polinômio, melhor a aproximação da função original nesse intervalo específico.
Passo 6
Após plotar os gráficos, observamos que:
- O polinômio de grau 2 ($ T_2(x) = 1 - \frac{x^2}{2} $) aproxima bem $ \cos x $ perto de $ x = 0 $, mas começa a divergir conforme $ x $ se afasta desse ponto.
- Conforme aumentamos o grau do polinômio para 4, 6 e 8, a aproximação melhora, especialmente nas regiões próximas ao centro.
- O polinômio de oitavo grau oferece uma aproximação bastante precisa de $ \cos x $ dentro do intervalo considerado, capturando mais os oscilações da função original.
Resposta
O polinômio de Taylor de oitavo grau para $ \cos x $ centrado em $ a = 0 $ é: