Encontre a aproximação quadrática para
próxima a
. Faça os gráficos de
, da aproximação linear e da aproximação quadrática na mesma tela. O que você conclui?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a aproximação quadrática da função $ f(x) = \sqrt{x + 3} $ perto de $ a = 1 $. Isso faz parte do conteúdo de aproximações polinomiais, onde a gente usa polinômios para estimar o comportamento de funções mais complicadas perto de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e montar o polinômio quadrático usando essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto onde vamos aproximar a função, que é $ a = 1 $. Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada de $ f(x) = \sqrt{x + 3} $ é:
Vamos calcular $ f’(1) $:
Passo 4
Seguimos para a segunda derivada de $ f(x) $. A segunda derivada é a derivada de $ f’(x) $:
Calculando $ f’’(1) $:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da aproximação quadrática de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora que temos a aproximação quadrática, podemos plotar $ f(x) $, a aproximação linear (que seria apenas até a primeira derivada), e a aproximação quadrática no mesmo gráfico para visualizar como elas se comportam perto de $ a = 1 $.
Resposta
A aproximação quadrática de $ f(x) = \sqrt{x + 3} $ perto de $ a = 1 $ é:
Ao plotar $ f(x) $, a aproximação linear e a quadrática no mesmo gráfico, observamos que a aproximação quadrática se ajusta de maneira mais precisa à função original perto de $ a = 1 $ comparada à aproximação linear. Isso mostra que usar termos de derivadas superiores melhora a precisão da aproximação.