Encontre a aproximação quadrática para f(x)=raizx+3 próxima a a=1. Faça os gráficos de f, da aproximação linear e da aproximação quadrática na mesma tela. O que você conclui?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a aproximação quadrática da função $ f(x) = \sqrt{x + 3} $ perto de $ a = 1 $. Isso faz parte do conteúdo de aproximações polinomiais, onde a gente usa polinômios para estimar o comportamento de funções mais complicadas perto de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e montar o polinômio quadrático usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde vamos aproximar a função, que é $ a = 1 $. Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
a = 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada de $ f(x) = \sqrt{x + 3} $ é:
f(x)
Vamos calcular $ f’(1) $:
f(x) = raizx + 3

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada de $ f(x) $. A segunda derivada é a derivada de $ f’(x) $:
f(x)
Calculando $ f’’(1) $:
f'(x)

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da aproximação quadrática de Taylor:
P2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2(x - a)^2
Substituindo os valores que encontramos:
P2(x) = 2 + 14(x - 1) + -1322(x - 1)^2
P2(x) = 2 + 14(x - 1) - 164(x - 1)^2

Passo 6

Agora que temos a aproximação quadrática, podemos plotar $ f(x) $, a aproximação linear (que seria apenas até a primeira derivada), e a aproximação quadrática no mesmo gráfico para visualizar como elas se comportam perto de $ a = 1 $.

Resposta

A aproximação quadrática de $ f(x) = \sqrt{x + 3} $ perto de $ a = 1 $ é:
f(x) = raizx + 3
Ao plotar $ f(x) $, a aproximação linear e a quadrática no mesmo gráfico, observamos que a aproximação quadrática se ajusta de maneira mais precisa à função original perto de $ a = 1 $ comparada à aproximação linear. Isso mostra que usar termos de derivadas superiores melhora a precisão da aproximação.

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