2- Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2, isto é,
, associado a função
no ponto
, onde a função
é dada por:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinómio de Taylor de ordem 2, isto é
, associado à função
no ponto
. As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto de expansão é
. - Queremos o polinómio de Taylor de ordem 2 (termos até grau 2 em
e ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a escrita usando as deslocamentos em relação ao ponto de expansão. Definimos
Assim
e
. Avaliando o expoente em
temos
. Reescrevemos a função em termos de
:
Isso é útil porque reduz o problema a expandir a exponencial unidimensional
com
.
Passo 3
Lembra do desenvolvimento em série de Taylor da função exponencial unidimensional ao redor de
:
Para obter o polinómio de ordem 2 cortamos essa série após o termo quadrático, ficando com a aproximação (erro de ordem
):
Aqui
será
. Essa fórmula é direta e muito usada na prova: basta lembrar que os coeficientes são
.
Passo 4
Substituímos
na aproximação truncada:
Agora expandimos
:
Então
Passo 5
Voltando à expressão de
em termos de
e multiplicando por
:
Agora substituímos
e
e distribuímos
:
Passo 6
Breve verificação (útil para a prova): poderíamos obter o mesmo resultado usando a fórmula multivariada com gradiente e Hessiana. Calculando derivadas parciais:
Avaliando em
dá fatores
e, aplicando a forma
chegamos exatamente ao mesmo polinómio obtido acima. Isso confirma que a expansão está correta.