2- Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2, isto é, p_{2}(x, y), associado a função g no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1), onde a função g: \Re^{2} \rightarrow \Re é dada por:
g(x, y)=e^{2 x+3 y}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinómio de Taylor de ordem 2, isto é p_{2}(x,y), associado à função g no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1). As informações dadas são:
  • A função é g(x,y)=e^{2x+3y}.
  • O ponto de expansão é \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1).
  • Queremos o polinómio de Taylor de ordem 2 (termos até grau 2 em (x-1) e (y-1)).

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita usando as deslocamentos em relação ao ponto de expansão. Definimos
h = x-1,\qquad k = y-1.
Assim x=1+h e y=1+k. Avaliando o expoente em (1,1) temos 2\cdot1+3\cdot1=5. Reescrevemos a função em termos de h,k:
g(x,y)=e^{2x+3y}=e^{2(1+h)+3(1+k)}=e^{5}\,e^{2h+3k}.
Isso é útil porque reduz o problema a expandir a exponencial unidimensional e^{t} com t=2h+3k.

Passo 3

Lembra do desenvolvimento em série de Taylor da função exponencial unidimensional ao redor de t=0:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
Para obter o polinómio de ordem 2 cortamos essa série após o termo quadrático, ficando com a aproximação (erro de ordem O(t^{3})):
e^{t}\approx 1+t+\frac{t^{2}}{2}.
Aqui t será 2h+3k. Essa fórmula é direta e muito usada na prova: basta lembrar que os coeficientes são 1/n!.

Passo 4

Substituímos t=2h+3k na aproximação truncada:
e^{2h+3k}\approx 1+(2h+3k)+\frac{(2h+3k)^{2}}{2}.
Agora expandimos (2h+3k)^{2}:
(2h+3k)^{2}=4h^{2}+12hk+9k^{2}.
Então
\frac{(2h+3k)^{2}}{2}=\frac{4h^{2}}{2}+\frac{12hk}{2}+\frac{9k^{2}}{2}=2h^{2}+6hk+\frac{9}{2}k^{2}.

Passo 5

Voltando à expressão de g em termos de h,k e multiplicando por e^{5}:
g(x,y)=e^{5}\,e^{2h+3k}\approx e^{5}\left(1+(2h+3k)+\bigg(2h^{2}+6hk+\frac{9}{2}k^{2}\bigg)\right).
Agora substituímos h=x-1 e k=y-1 e distribuímos e^{5}:
p_{2}(x,y)=e^{5}+2e^{5}(x-1)+3e^{5}(y-1)+2e^{5}(x-1)^{2}+6e^{5}(x-1)(y-1)+\frac{9}{2}e^{5}(y-1)^{2}.

Passo 6

Breve verificação (útil para a prova): poderíamos obter o mesmo resultado usando a fórmula multivariada com gradiente e Hessiana. Calculando derivadas parciais:
g_x=2e^{2x+3y},\quad g_y=3e^{2x+3y},
g_{xx}=4e^{2x+3y},\quad g_{xy}=6e^{2x+3y},\quad g_{yy}=9e^{2x+3y}.
Avaliando em (1,1) dá fatores e^{5} e, aplicando a forma
p_{2}=g(1,1)+\nabla g(1,1)\cdot (h,k)+\tfrac{1}{2}(h,k)H(1,1)(h,k)^{T},
chegamos exatamente ao mesmo polinómio obtido acima. Isso confirma que a expansão está correta.

Resposta

p_{2}(x,y)=e^{5}+2e^{5}(x-1)+3e^{5}(y-1)+2e^{5}(x-1)^{2}+6e^{5}(x-1)(y-1)+\dfrac{9}{2}e^{5}(y-1)^{2}

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