O que se pede: encontrar a solução y(t)\] para todo \(t\ge0 (a solução que satisfaz a EDO e as condições iniciais).]
Passo 2
Escolha do método (e por que): como a força f(t) é uma função por partes (liga e desliga em instantes \pi e 3\pi) e temos condições iniciais nulas, o método do Laplace é muito conveniente — ele transforma a EDO em uma equação algébrica, e a propriedade de deslocamento em tempo (fator e^{-as}) trata automaticamente os saltos de f(t). Vou usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento (também chamada de propriedade do degrau ou unidade de Heaviside).
Antes de transformar, é prático escrever f(t) em termos do degrau unitário u(t-a). Note que f(t) é zero antes de \pi, passa a ser 2 em [\pi,3\pi) e volta a zero em [3\pi,\infty). Isso equivale a ligar uma força 2 em t=\pi e desligá-la em t=3\pi. Logo:
f(t)=2\bigl(u(t-\pi)-u(t-3\pi)\bigr).
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace. Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usamos que \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0). Como y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s). Transformando ambos os lados:
s^{2}Y(s)+4Y(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
A transformada de \,u(t-a)\, é \mathcal{L}\{u(t-a)\}=e^{-as}/s. Assim
Para inverter a transformada, separamos o fator com exponenciais de atraso e fazemos a transformada inversa do núcleo
F(s)=\frac{2}{s(s^{2}+4)}.
Ou seja,
Y(s)=\bigl(e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}\bigr)\,F(s).
Pela propriedade de deslocamento, \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a) onde f=\mathcal{L}^{-1}\{F\}. Então precisamos achar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Passo 5
Calcule F(s)=\dfrac{2}{s(s^{2}+4)} por frações parciais. Primeiro fator comum 2 e façamos a decomposição de \dfrac{1}{s(s^{2}+4)}. Procure constantes A,B,C tais que
Interpretação e forma equivalente por intervalos (escrevo a solução de forma explícita por partes, que é útil para fazer a prova): lembrando que u(t-a)=0 para t<a e 1 para t\ge a,
Para 0\le t<\pi: ambos os degraus são zero, então y(t)=0.
Para \pi\le t<3\pi: u(t-\pi)=1 e u(t-3\pi)=0, portanto
Podemos simplificar este último: note que \cos(2(t-3\pi))=\cos(2t-6\pi)=\cos(2t) e \cos(2(t-\pi))=\cos(2t-2\pi)=\cos(2t) porque \cos tem período 2\pi. Assim as duas parcelas se anulam e y(t)=0 para t\ge3\pi.