Encontre: os intervalos nos quais
é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
Passo 1
A gente tem a função
. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade e concavidade, então vamos precisar calcular a primeira derivada
e a segunda derivada
, achar zeros delas, estudar sinais e identificar extremos relativos e pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos calcular
usando a regra do quociente. Se
, então
Aqui
e
, logo
e
. Assim:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
e vemos onde ela não existe.
se, e só se, o numerador
, isto é
.
O denominador nunca é zero, então não há outras falhas.
O denominador
Passo 4
Agora determinamos osintervalos de crescimento e decrescimento checando o sinal de
. Como o denominador é sempre positivo, o sinal vem de
:
- Se
, então e (crescente). - Se
, então e (decrescente).
Passo 5
Agora vamos à segunda derivada. Podemos reescrever
e derivar por produto:
Colocando num denominador comum
Passo 6
Para encontrar a concavidade e pontos de inflexão, igualamos
(denom sem zeros). Temos
dando
ou
. Agora vemos o sinal de
:
- Em
: e ⇒ (côncava para baixo). - Em
: e ⇒ (côncava para cima). - Em
: e ⇒ (côncava para baixo). - Em
: e ⇒ (côncava para cima).
Passo 7
Os pontos de inflexão são
. As coordenadas seguem de
:
Passo 8
Por fim, os extremos relativos aparecem nos pontos críticos
, olhando o sinal de
:
- Em
: muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local. - Em
: muda de positivo para negativo ⇒ máximo local.
As coordenadas sãoe
Resposta
Crescente em (-√2, √2) e decrescente em (-∞, -√2) ∪ (√2, ∞).
Côncava para cima em (-√6, 0) ∪ (√6, ∞) e côncava para baixo em (-∞, -√6) ∪ (0, √6).
Pontos de inflexão em x = -√6, 0, √6, com f(-√6) = -√6/8, f(0) = 0, f(√6) = √6/8.
Mínimo local em (-√2, -√2/4) e máximo local em (√2, √2/4).
Côncava para cima em (-√6, 0) ∪ (√6, ∞) e côncava para baixo em (-∞, -√6) ∪ (0, √6).
Pontos de inflexão em x = -√6, 0, √6, com f(-√6) = -√6/8, f(0) = 0, f(√6) = √6/8.
Mínimo local em (-√2, -√2/4) e máximo local em (√2, √2/4).