Encontre: os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
f(x)=xx^2+2

Passo 1

A gente tem a função f(x)=xx^2+2. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade e concavidade, então vamos precisar calcular a primeira derivada f' e a segunda derivada f'', achar zeros delas, estudar sinais e identificar extremos relativos e pontos de inflexão.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente. Se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 Aqui u(x)=x e v(x)=x^2+2, logo u'(x)=1 e v'(x)=2x. Assim:
f'(x)=1cdot(x^2+2)-xcdot(2x)(x^2+2)^2 = x^2+2-2x^2(x^2+2)^2=2-x^2(x^2+2)^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0 e vemos onde ela não existe.
f'(x)=0 se, e só se, o numerador 2-x^2=0, isto é x=pmraiz2.
O denominador (x^2+2)^2 nunca é zero, então não há outras falhas.

Passo 4

Agora determinamos osintervalos de crescimento e decrescimento checando o sinal de f'(x)=2-x^2(x^2+2)^2. Como o denominador é sempre positivo, o sinal vem de 2-x^2:
  • Se |x|, então 2-x^2>0 e f'(x)>0 (crescente).
  • Se |x|>raiz2, então 2-x^2<0 e f'(x)<0 (decrescente).

Passo 5

Agora vamos à segunda derivada. Podemos reescrever f'(x)=(2-x^2)(x^2+2)^-2 e derivar por produto:
f''(x)=(-2x)(x^2+2)^-2 + (2-x^2)(-2)(x^2+2)^-3cdot2x
Colocando num denominador comum (x^2+2)^3, obtemos
f''(x)=2x(x^2-6)(x^2+2)^3

Passo 6

Para encontrar a concavidade e pontos de inflexão, igualamos f''(x)=0 (denom sem zeros). Temos 2x(x^2-6)=0 dando x=0 ou x=pmraiz6. Agora vemos o sinal de f'':
  • Em x< -raiz6: x^2-6>0 e x<0 f''<0 (côncava para baixo).
  • Em -raiz6: x^2-6<0 e x<0 f''>0 (côncava para cima).
  • Em 0: x^2-6<0 e x>0 f''<0 (côncava para baixo).
  • Em x>raiz6: x^2-6>0 e x>0 f''>0 (côncava para cima).

Passo 7

Os pontos de inflexão são x=-raiz6,0,raiz6. As coordenadas seguem de f(x)=xx^2+2:
f(-raiz6)=-raiz68, ; f(0)=0, ; f(raiz6)=raiz68

Passo 8

Por fim, os extremos relativos aparecem nos pontos críticos x=pmraiz2, olhando o sinal de f':
  • Em x=-raiz2: f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.
  • Em x=raiz2: f' muda de positivo para negativo ⇒ máximo local.
    As coordenadas são f(-raiz2)=-raiz24 e f(raiz2)=raiz24

Resposta

Crescente em (-√2, √2) e decrescente em (-∞, -√2) ∪ (√2, ∞).
Côncava para cima em (-√6, 0) ∪ (√6, ∞) e côncava para baixo em (-∞, -√6) ∪ (0, √6).
Pontos de inflexão em x = -√6, 0, √6, com f(-√6) = -√6/8, f(0) = 0, f(√6) = √6/8.
Mínimo local em (-√2, -√2/4) e máximo local em (√2, √2/4).

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