a) Encontre o polinômio de Taylor, de 3^{\underline{\circ}} grau, em torno de x =1, se \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}=\mathrm{e}^{\wedge}\left(-\mathrm{x}^{2}\right)=\exp \left(-\mathrm{x}^{2}\right).
b) Como calcular \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x ? Uma estratégia é pelo método de Simpson. Descrever este método e use-o para resolver a referida integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. a) Encontrar o polinômio de Taylor de 3.º grau centrado em x=1 para a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\exp\left(-\mathrm{x}^{2}\right).
  2. b) Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx usando o método de Simpson; descreva o método e aplique-o para aproximar essa integral.
Informações dadas: a função \mathrm{f}(x)=\exp\left(-x^{2}\right) e o ponto de expansão x=1. Para a integral, o intervalo é [0,1]. Não há outros dados numéricos fornecidos no enunciado.

Passo 2

Primeiro: qual é a fórmula do polinômio de Taylor de grau n centrado em a? A fórmula é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k},
onde f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=a, e k! é o fatorial de k. Essa fórmula diz: você aproxima f por um polinômio cuja constante, coeficiente linear, quadrático etc. são dados pelas derivadas no ponto a. Agora vamos aplicar isso com n=3 e a=1.

Passo 3

Precisamos das derivadas até a ordem 3 de f(x)=\exp\left(-x^{2}\right). Vou derivar passo a passo, explicando as regras usadas.
Regra usada: derivada de \exp(g(x)) é g'(x)\exp(g(x)) (regra da cadeia). Também usarei produto quando necessário.
  1. f(x)=\exp\left(-x^{2}\right).
  2. Primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\exp(-x^{2})\big)=(-2x)\exp(-x^{2}).
Explicação: aqui g(x)=-x^{2}, g'(x)=-2x, então f'(x)=g'(x)\exp(g(x)).
  1. Segunda derivada: derivamos f'(x)=-2x\exp(-x^{2}). Isso é produto de -2x por \exp(-x^{2}). Usando a regra do produto,
f''(x)=(-2)\exp(-x^{2}) + (-2x)\cdot\big((-2x)\exp(-x^{2})\big).
Agora fatoramos \exp(-x^{2}):
f''(x)=\big(-2 + 4x^{2}\big)\exp(-x^{2})=(4x^{2}-2)\exp(-x^{2}).
  1. Terceira derivada: derivamos f''(x)=(4x^{2}-2)\exp(-x^{2}). Novamente é produto: (4x^{2}-2) vezes \exp(-x^{2}). Aplicando a regra do produto,
f^{(3)}(x)=(8x)\exp(-x^{2}) + (4x^{2}-2)\cdot\big((-2x)\exp(-x^{2})\big).
Fatorando \exp(-x^{2}):
f^{(3)}(x)=\big(8x -2x(4x^{2}-2)\big)\exp(-x^{2}).
Calculamos o parêntese:
8x -2x(4x^{2}-2)=8x -8x^{3}+4x=12x-8x^{3}.
Portanto
f^{(3)}(x)=(12x-8x^{3})\exp(-x^{2}).

Passo 4

Agora avalio as derivadas em x=1. Lembre-se: \exp(-1)=e^{-1}.
f(1)=\exp(-1)=e^{-1}.
f'(1)=-2\cdot 1\cdot e^{-1}=-2e^{-1}.
f''(1)=(4\cdot 1^{2}-2)e^{-1}=(4-2)e^{-1}=2e^{-1}.
f^{(3)}(1)=(12\cdot 1 -8\cdot 1^{3})e^{-1}=(12-8)e^{-1}=4e^{-1}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em a=1:
T_{3}(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^{2}+\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^{3}.
Substituindo os valores obtidos:
T_{3}(x)=e^{-1} + (-2e^{-1})(x-1) + \frac{2e^{-1}}{2}(x-1)^{2} + \frac{4e^{-1}}{6}(x-1)^{3}.
Simplificando os coeficientes \big(\frac{2}{2}=1,\\ \frac{4}{6}=\frac{2}{3}\big):
T_{3}(x)=e^{-1}\Big[\,1 -2(x-1) + (x-1)^{2} + \tfrac{2}{3}(x-1)^{3}\Big].

Passo 6

Agora parte (b): descrever o método de Simpson.
  • Ideia: aproximar a integral por arcos de parábolas que interpolam a função em pontos igualmente espaçados. Para um único painel que vai de a até b com o ponto médio m=(a+b)/2, a fórmula de Simpson (às vezes chamada de regra de Simpson 1/3) é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big).
  • Para o caso geral (regra composta), divida [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h=(b-a)/n, onde n deve ser par. Denotando os nós por x_{0}=a,x_{1}=a+h,\dots,x_{n}=b, a regra composta de Simpson é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_{0}) + 4\sum_{\substack{j=1\\\ j\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{j}) + 2\sum_{\substack{j=2\\\ j\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{j}) + f(x_{n})\Big).í
Explicação dos termos: os nós de índice ímpar recebem peso 4, os nós de índice par (interiores) recebem peso 2, e as extremidades peso 1. A razão é que cada par de subintervalos é aproximado por uma parábola que envolve três pontos.

Passo 7

Aplicando Simpson para \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx.
Escolho n=4 (número par e pequeno, dá boa precisão prática sem muita conta). Então
h=\frac{1-0}{4}=0,25.
Os nós são
x_{0}=0,\\ x_{1}=0{,}25,\\ x_{2}=0{,}5,\\ x_{3}=0{,}75,\\ x_{4}=1.

Passo 8

Calculo f(x_{j})=e^{-x_{j}^{2}} em cada nó (valores numéricos aproximados; usei uma calculadora para \exp):
f(x_{0})=e^{0}=1,
f(x_{1})=e^{-0{,}25^{2}}=e^{-0{,}0625}\approx 0{,}9394130628,
f(x_{2})=e^{-0{,}5^{2}}=e^{-0{,}25}\approx 0{,}7788007831,
f(x_{3})=e^{-0{,}75^{2}}=e^{-0{,}5625}\approx 0{,}5697828247,
f(x_{4})=e^{-1}=0{,}3678794412.

Passo 9

Agora aplico a fórmula composta de Simpson:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_{0}) + 4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big) + 2f(x_{2}) + f(x_{4})\Big).
Substituindo números:
Calcule 4(f(x_{1})+f(x_{3})):
4\big(0{,}9394130628 + 0{,}5697828247\big)=4\cdot 1{,}5091958875=6{,}03678355.
Calcule 2f(x_{2}):
2\cdot 0{,}7788007831=1{,}5576015662.
Some todos os termos dentro do parêntese:
1 + 6{,}03678355 + 1{,}5576015662 + 0{,}3678794412 = 8{,}9622645574.
Multiplico por h/3. Como h=0{,}25, tem-se h/3=0{,}08333333333. Portanto
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx \approx 0{,}08333333333 \times 8{,}9622645574 \approx 0{,}7468553798.

Passo 10

Comentário sobre precisão: o valor exato pode ser expresso com a função erro \operatorname{erf}:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\approx 0{,}7468241328.
Comparando com o resultado de Simpson obtido \approx 0{,}7468553798, o erro é aproximadamente
0{,}7468553798 - 0{,}7468241328 \approx 0{,}0000312470 \approx 3{,}12\cdot 10^{-5},
o que mostra que a regra composta de Simpson com n=4 já dá uma aproximação muito boa para esta integral.

Resposta

a) T_{3}(x)=e^{-1}\Big[\,1 -2(x-1) + (x-1)^{2} + \tfrac{2}{3}(x-1)^{3}\Big].
b) Usando a regra composta de Simpson com n=4: \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx \approx 0{,}7468553798.

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