a) Encontre o polinômio de Taylor, de
grau, em torno de
, se
.
b) Como calcular
? Uma estratégia é pelo método de Simpson. Descrever este método e use-o para resolver a referida integral.
b) Como calcular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- a) Encontrar o polinômio de Taylor de 3.º grau centrado em
para a função . - b) Calcular
usando o método de Simpson; descreva o método e aplique-o para aproximar essa integral.
Informações dadas: a função
e o ponto de expansão
. Para a integral, o intervalo é
. Não há outros dados numéricos fornecidos no enunciado.
Passo 2
Primeiro: qual é a fórmula do polinômio de Taylor de grau
centrado em
? A fórmula é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. Essa fórmula diz: você aproxima
por um polinômio cuja constante, coeficiente linear, quadrático etc. são dados pelas derivadas no ponto
. Agora vamos aplicar isso com
e
.
Passo 3
Precisamos das derivadas até a ordem 3 de
. Vou derivar passo a passo, explicando as regras usadas.
Regra usada: derivada de
é
(regra da cadeia). Também usarei produto quando necessário.
-
. -
Primeira derivada:
Explicação: aqui
,
, então
.
- Segunda derivada: derivamos
. Isso é produto de por . Usando a regra do produto,
Agora fatoramos
:
- Terceira derivada: derivamos
. Novamente é produto: vezes . Aplicando a regra do produto,
Fatorando
:
Calculamos o parêntese:
Portanto
Passo 4
Agora avalio as derivadas em
. Lembre-se:
.
Passo 5
Agora aplico a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em
:
Substituindo os valores obtidos:
Simplificando os coeficientes
:
Passo 6
Agora parte (b): descrever o método de Simpson.
- Ideia: aproximar a integral por arcos de parábolas que interpolam a função em pontos igualmente espaçados. Para um único painel que vai de
até com o ponto médio , a fórmula de Simpson (às vezes chamada de regra de Simpson 1/3) é
- Para o caso geral (regra composta), divida
em subintervalos de mesmo comprimento , onde deve ser par. Denotando os nós por , a regra composta de Simpson é
Explicação dos termos: os nós de índice ímpar recebem peso 4, os nós de índice par (interiores) recebem peso 2, e as extremidades peso 1. A razão é que cada par de subintervalos é aproximado por uma parábola que envolve três pontos.
Passo 7
Aplicando Simpson para
.
Escolho
(número par e pequeno, dá boa precisão prática sem muita conta). Então
Os nós são
Passo 8
Calculo
em cada nó (valores numéricos aproximados; usei uma calculadora para
):
Passo 9
Agora aplico a fórmula composta de Simpson:
Substituindo números:
Calcule
:
Calcule
:
Some todos os termos dentro do parêntese:
Multiplico por
. Como
, tem-se
. Portanto
Passo 10
Comentário sobre precisão: o valor exato pode ser expresso com a função erro
:
Comparando com o resultado de Simpson obtido
, o erro é aproximadamente
o que mostra que a regra composta de Simpson com
já dá uma aproximação muito boa para esta integral.
Resposta
a)
b) Usando a regra composta de Simpson com
: