A transformada de Laplace é definida por:
\mathcal{L}{f(t)}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
(b) \mathcal{L}{\operatorname{senh}(t)}. OBS: \operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \operatorname{senh}(t), onde foi dado que
\operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}
e a transformada de Laplace é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A definição de \operatorname{senh}(t) (hiperbólica).
  • A definição da transformada de Laplace.
    O que é pedido: calcular \mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades/fórmulas essenciais que vamos usar (explicando o porquê delas):
  1. Linearidade da transformada de Laplace: para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
Isto é simplesmente porque a integral é linear — podemos separar soma e fatorar constantes para fora da integral.
  1. Transformada de uma exponencial: para a\in\mathbb{C},
\mathcal{L}\{e^{a t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Agora precisamos lembrar a integral básica
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\alpha},
desde que a parte real de \alpha seja positiva (ou seja, \operatorname{Re}(\alpha)>0), para garantir que e^{-\alpha t}\to0 quando t\to\infty. Aplicando isso com \alpha=s-a, obtemos
\mathcal{L}\{e^{a t}\}=\frac{1}{s-a},\qquad \text{desde que }\operatorname{Re}(s-a)>0\\ (\text{ou seja }\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)).

Passo 3

Agora aplicamos a definição de \operatorname{senh}(t) e a linearidade:
\operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}=\frac{1}{2}\big(\mathcal{L}\{e^{t}\}-\mathcal{L}\{e^{-t}\}\big).
Pelo resultado do passo anterior:
\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}\quad\text{se }\operatorname{Re}(s)>1,
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}\quad\text{se }\operatorname{Re}(s)>-1.
A região comum onde ambas existem é \operatorname{Re}(s)>1 (interseção das duas condições).

Passo 4

Substituindo as transformadas no passo anterior:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\right),\qquad \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 5

Fazemos a subtração de frações com o mesmo denominador comum:
\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}=\frac{(s+1)-(s-1)}{(s-1)(s+1)}=\frac{2}{s^{2}-1}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} temos
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}=\frac{1}{s^{2}-1},\qquad \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 6

Interpretação e dica de prova: o resultado mostra que a transformada de \operatorname{senh}(t) tem polos em s=\pm1 e converge para \operatorname{Re}(s)>1 por causa do termo e^{t} presente em \operatorname{senh}(t). Regra prática para lembrar: para \operatorname{sinh}(a t) (ou \operatorname{senh}(a t)) vale
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>|a|.
Exemplo rápido (fora do enunciado): para a=2,
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(2t)\}=\frac{2}{s^{2}-4},\qquad \operatorname{Re}(s)>2.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}=\frac{1}{s^{2}-1},\\ \operatorname{Re}(s)>1

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