A transformada de Laplace é definida por:
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
(b)
. OBS:
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
, onde foi dado que
e a transformada de Laplace é definida por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A definição de
(hiperbólica). - A definição da transformada de Laplace.
O que é pedido: calcular.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades/fórmulas essenciais que vamos usar (explicando o porquê delas):
- Linearidade da transformada de Laplace: para constantes
e funções ,
Isto é simplesmente porque a integral é linear — podemos separar soma e fatorar constantes para fora da integral.
- Transformada de uma exponencial: para
,
Agora precisamos lembrar a integral básica
desde que a parte real de
seja positiva (ou seja,
), para garantir que
quando
. Aplicando isso com
, obtemos
Passo 3
Agora aplicamos a definição de
e a linearidade:
Pelo resultado do passo anterior:
A região comum onde ambas existem é
(interseção das duas condições).
Passo 4
Substituindo as transformadas no passo anterior:
Passo 5
Fazemos a subtração de frações com o mesmo denominador comum:
Multiplicando por
temos
Passo 6
Interpretação e dica de prova: o resultado mostra que a transformada de
tem polos em
e converge para
por causa do termo
presente em
. Regra prática para lembrar: para
(ou
) vale
Exemplo rápido (fora do enunciado): para
,