Transforme as equações cartesianas em equações polares:

Passo 1

O enunciado pede para transformar equações cartesianas em equações polares.
Informações dadas no enunciado: nenhuma — você não forneceu as equações cartesianas que precisam ser transformadas. Portanto, não há expressões específicas para aplicar a transformação.

Passo 2

Antes de tentar qualquer transformação, vamos revisar a definição de coordenadas polares e as fórmulas básicas de conversão (essas são as ferramentas que você vai usar na prova).
A coordenada polar de um ponto é dada por (r,\theta) onde:
r
é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 quando usamos a convenção padrão) e
\theta
é o ângulo medido a partir do eixo x positivo até o raio que vai da origem ao ponto. As fórmulas que relacionam coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Também é muito útil a identidade
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Explicando cada termo: x e y são as coordenadas cartesianas (distâncias ao longo dos eixos), r é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por x e y, e \theta é o ângulo desse triângulo.

Passo 3

Estratégia geral para transformar uma equação cartesiana em polar (passo a passo que você pode aplicar na prova):
  1. Substitua x por r\cos\theta e y por r\sin\theta.
  2. Simplifique a expressão; muitas vezes aparece um fator comum r ou r^{2} que você pode isolar.
  3. Se for conveniente, use r^{2}=x^{2}+y^{2} para simplificar termos quadráticos.
  4. Decida a forma final desejada: geralmente é conveniente isolar r como função de \theta, isto é, obter r=f(\theta); às vezes a resposta natural é uma equação envolvendo \theta (por exemplo, retas passando pela origem dão \theta= constante).
  5. Lembre-se de cuidar dos casos especiais (por exemplo, divisões por zero quando r=0 ou quando algum fator trigonométrico é zero).

Passo 4

Exemplo 1 — círculo centrado na origem: transformar
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} (identidade direta), obtemos
r^{2}=a^{2}.
Como normalmente tomamos r\ge 0, a equação polar fica
r=a.
Isso significa: em coordenadas polares, um círculo de raio a centrado na origem é simplesmente r=a. Simples e elegante.

Passo 5

Exemplo 2 — reta genérica: transformar
y = m x + b.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta
r\sin\theta = m\,r\cos\theta + b.
Coloco os termos com r juntos:
r(\sin\theta - m\cos\theta)=b.
Se \sin\theta - m\cos\theta\neq 0, isolamos r:
r=\dfrac{b}{\sin\theta - m\cos\theta}.
Observações importantes:
  • Se b=0 (a reta passa pela origem), a equação fica r(\sin\theta - m\cos\theta)=0. Para pontos com r\neq 0 isso implica \sin\theta - m\cos\theta=0, ou seja
\tan\theta = m,
que corresponde à representação polar da reta que passa pela origem: \theta=\arctan m (ou \theta congruente a esse valor, conforme o quadrante).
  • A expressão para r pode ter problemas quando o denominador zera; isso corresponde a valores de \theta em que a reta não corta a direção definida (ou o ponto está no infinito nessa parametrização) — cuide disso na prova.

Passo 6

Exemplo 3 — parábola padrão: transformar
y^{2}=4a x.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta temos
(r\sin\theta)^{2}=4a(r\cos\theta).
Isso é
r^{2}\sin^{2}\theta = 4a r\cos\theta.
Se r\neq 0, podemos dividir por r:
r\sin^{2}\theta = 4a\cos\theta.
Logo
r = \dfrac{4a\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
(Para r=0 pode haver a origem como ponto da curva; verifique caso a caso.) Às vezes essa expressão é reescrita usando identidades trigonométricas, mas a forma acima já é uma forma polar válida.

Passo 7

Exemplo 4 — elipse com eixos alinhados: transformar
\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
\dfrac{r^{2}\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\dfrac{r^{2}\sin^{2}\theta}{b^{2}}=1.
Fatorando r^{2}:
r^{2}\left(\dfrac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\dfrac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)=1.
Isolando r^{2} e depois r:
r^{2}=\dfrac{1}{\dfrac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\dfrac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}}
r=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\dfrac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}}}.
Essa é a forma polar da elipse (escolha o sinal de r conforme a convenção r\ge 0).

Passo 8

Dicas práticas para a prova (resumindo de forma amigável):
  • Sempre comece substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • Procure fatores r ou r^{2} que possam ser simplificados; isolar r em função de \theta é normalmente o objetivo.
  • Verifique casos especiais (reta passando pela origem, r=0, denominadores zero).
  • Se a equação for simétrica (por exemplo somente x^{2}+y^{2}), use direto r^{2}.
  • Treine com exemplos simples (círculo, reta, parábola, elipse) até decorar as manobras básicas — isso economiza tempo na prova. Você já está no caminho: com as fórmulas básicas e esses passos você resolve quase qualquer transformação.

Resposta

Impossível transformar: o enunciado não fornece as equações cartesianas a serem convertidas.

Exercícios relacionados