Considere a função
, sendo
.
Encontre o valor de B tal que o volume da região abaixo da curva
, acima do eixo
e limitada lateralmente entre
e
, ao ser rotacionada em torno do eixo Y seja igual a
unidade de volume (é possível?). E se h for “extremamente grande”?
Encontre o valor de B tal que o volume da região abaixo da curva
Passo 1
O enunciado dá a função
com
. Considera-se a região do plano que está abaixo da curva
, acima do eixo
e limitada lateralmente por
e
. Essa região é rotacionada em torno do eixo
. As perguntas são:
- Existe valor de
tal que o volume gerado por essa rotação seja igual a unidades de volume? Se sim, qual é esse(s) valor(es) de ? - O que acontece se
for “extremamente grande”? (ou seja, discutir o caso muito grande ou ).
Observações de dados dadas:
,
, intervalo de
é
. Vou assumir que
(caso
fosse negativo a descrição "entre
e
" mudaria a orientação; normalmente em problemas assim
).
Passo 2
Escolha do método e ideia física/geométrica: para rotacionar uma região limitada por
e
em torno do eixo
, um método muito prático é o dos cilindros (método das cascas cilíndricas). Vou explicar esse método passo a passo.
Conceito do método das cascas cilíndricas: pegue um pequeno retângulo vertical em
com largura
e altura
. Ao rotacioná-lo em torno do eixo
, ele gera uma casca cilíndrica de raio aproximadamente
, altura
e espessura
. O volume aproximado dessa casca é área lateral do cilindro vezes espessura:
Portanto o volume total é a integral dessas cascas de
até
:
Essa fórmula vem diretamente da decomposição em cascas cilíndricas; cada variável está bem definida:
é o raio da casca,
é a altura da casca,
a espessura.
Passo 3
Aplicando ao nosso
: escrever o integrando explicitamente e simplificar antes de integrar.
Agora precisamos calcular a integral
. Vou mostrar a técnica: use a substituição
. Então
, ou seja
. Assim,
Note que
sempre, então podemos remover o valor absoluto sem problema.
Passo 4
Calcule a integral definida de
a
:
Simplificando logaritmos:
Portanto temos uma fórmula fechada do volume em função de
e
.
Passo 5
Agora imponha a condição pedida: queremos
. Igualando:
Divida ambos os lados por
:
Exponenciando (aplicando
nos dois lados):
Isolando
:
Portanto
Como
depende apenas de
, os sinais de
dão a mesma função
; o enunciado só exigiu
, então ambas as soluções são válidas como constantes que tornam o volume igual a
.
Passo 6
Interpretação e resposta prática: a condição encontrada é
Isto significa que, para qualquer valor fixo de
, existe sim um (na verdade dois, com sinais opostos) valor(es) de
que fazem o volume igual a
. Numericamente,
, então aproximadamente
Ou seja,
é proporcional a
.
Passo 7
Caso
extremamente grande (discussão do limite): se
e
for mantido fixo (não crescendo com
), então na fórmula do volume
o argumento do logaritmo tende a
, logo
. Assim, para
muito grande e
fixo, não há como obter
— o volume diverge.
Por outro lado, se
for muito grande mas você for livre para escolher
, então basta escolher
proporcional a
seguindo a relação anterior para manter
. Em outras palavras, para qualquer
(mesmo muito grande) você pode escolher
e obter exatamente
. Portanto o problema só deixa de ter solução quando você exige que
seja fixo e pequeno enquanto
cresce; se
também crescer com
segundo a fórmula acima, continua sendo possível.
Resposta
Se