Considere a função f(x)=1 /\left(x^{2}+B^{2}\right), sendo B \neq 0.
Encontre o valor de B tal que o volume da região abaixo da curva y=f(x), acima do eixo x e limitada lateralmente entre x=0 e x=h, ao ser rotacionada em torno do eixo Y seja igual a \pi unidade de volume (é possível?). E se h for “extremamente grande”?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+B^{2}} com B\neq 0. Considera-se a região do plano que está abaixo da curva y=f(x), acima do eixo x e limitada lateralmente por x=0 e x=h. Essa região é rotacionada em torno do eixo y. As perguntas são:
  1. Existe valor de B tal que o volume gerado por essa rotação seja igual a \pi unidades de volume? Se sim, qual é esse(s) valor(es) de B?
  2. O que acontece se h for “extremamente grande”? (ou seja, discutir o caso h muito grande ou h\to\infty).
Observações de dados dadas: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+B^{2}}, B\neq 0, intervalo de x é [0,h]. Vou assumir que h>0 (caso h fosse negativo a descrição "entre 0 e h" mudaria a orientação; normalmente em problemas assim h>0).

Passo 2

Escolha do método e ideia física/geométrica: para rotacionar uma região limitada por x=0 e x=h em torno do eixo y, um método muito prático é o dos cilindros (método das cascas cilíndricas). Vou explicar esse método passo a passo.
Conceito do método das cascas cilíndricas: pegue um pequeno retângulo vertical em x com largura dx e altura y=f(x). Ao rotacioná-lo em torno do eixo y, ele gera uma casca cilíndrica de raio aproximadamente x, altura f(x) e espessura dx. O volume aproximado dessa casca é área lateral do cilindro vezes espessura:
dV \approx (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi x \cdot f(x)\cdot dx.ê
Portanto o volume total é a integral dessas cascas de x=0 até x=h:
V = \int_{0}^{h} 2\pi x\, f(x)\, dx.
Essa fórmula vem diretamente da decomposição em cascas cilíndricas; cada variável está bem definida: x é o raio da casca, f(x) é a altura da casca, dx a espessura.

Passo 3

Aplicando ao nosso f(x): escrever o integrando explicitamente e simplificar antes de integrar.
V = \int_{0}^{h} 2\pi x \cdot \frac{1}{x^{2}+B^{2}}\, dx = 2\pi \int_{0}^{h} \frac{x}{x^{2}+B^{2}}\, dx.
Agora precisamos calcular a integral \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+B^{2}}\,dx. Vou mostrar a técnica: use a substituição u=x^{2}+B^{2}. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim,
\int \frac{x}{x^{2}+B^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+B^{2}\bigr) + C.
Note que x^{2}+B^{2}>0 sempre, então podemos remover o valor absoluto sem problema.

Passo 4

Calcule a integral definida de 0 a h:
V = 2\pi \left[\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+B^{2}\bigr)\right]_{0}^{h} = \pi\Bigl(\ln\bigl(h^{2}+B^{2}\bigr)-\ln\bigl(0^{2}+B^{2}\bigr)\Bigr).
Simplificando logaritmos:
V = \pi \ln\!\left(\frac{h^{2}+B^{2}}{B^{2}}\right) = \pi \ln\!\left(1+\frac{h^{2}}{B^{2}}\right).
Portanto temos uma fórmula fechada do volume em função de h e B.

Passo 5

Agora imponha a condição pedida: queremos V=\pi. Igualando:
\pi \ln\!\left(1+\frac{h^{2}}{B^{2}}\right)=\pi.
Divida ambos os lados por \pi:
\ln\!\left(1+\frac{h^{2}}{B^{2}}\right)=1.
Exponenciando (aplicando e^{(\cdot)} nos dois lados):
1+\frac{h^{2}}{B^{2}} = e.
Isolando \dfrac{h^{2}}{B^{2}}:
\frac{h^{2}}{B^{2}} = e-1.
Portanto
B^{2} = \frac{h^{2}}{e-1}\quad\Rightarrow\quad B = \pm\frac{h}{\sqrt{e-1}}.
Como f(x) depende apenas de B^{2}, os sinais de B dão a mesma função f; o enunciado só exigiu B\neq 0, então ambas as soluções são válidas como constantes que tornam o volume igual a \pi.

Passo 6

Interpretação e resposta prática: a condição encontrada é
|B| = \frac{h}{\sqrt{e-1}}.
Isto significa que, para qualquer valor fixo de h>0, existe sim um (na verdade dois, com sinais opostos) valor(es) de B que fazem o volume igual a \pi. Numericamente, \sqrt{e-1}\approx 1{,}310, então aproximadamente
|B|\approx 0{,}763\,h.
Ou seja, B é proporcional a h.

Passo 7

Caso h extremamente grande (discussão do limite): se h\to\infty e B for mantido fixo (não crescendo com h), então na fórmula do volume
V=\pi\ln\!\left(1+\frac{h^{2}}{B^{2}}\right)
o argumento do logaritmo tende a +\infty, logo V\to\infty. Assim, para h muito grande e B fixo, não há como obter V=\pi — o volume diverge.
Por outro lado, se h for muito grande mas você for livre para escolher B, então basta escolher B proporcional a h seguindo a relação anterior para manter V=\pi. Em outras palavras, para qualquer h (mesmo muito grande) você pode escolher
B=\pm\frac{h}{\sqrt{e-1}}
e obter exatamente V=\pi. Portanto o problema só deixa de ter solução quando você exige que B seja fixo e pequeno enquanto h cresce; se B também crescer com h segundo a fórmula acima, continua sendo possível.

Resposta

|B|=\dfrac{h}{\sqrt{e-1}} (ou seja B=\pm\dfrac{h}{\sqrt{e-1}}).
Se h\to\infty com B fixo, então V\to\infty e não é possível ter V=\pi. Se h é muito grande mas você escolhe B conforme |B|=\dfrac{h}{\sqrt{e-1}}, então ainda se obtém V=\pi.

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