Encontre os polinômios característico e mínimo de cada uma das matrizes dadas. A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1 \\\\ 2 & 4 & -2 \\\\ -1 & -1 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para calcular o polinômio característico e o polinômio mínimo da matriz
Vamos usar determinante para achar o característico, fatorar para obter autovalores e suas multiplicidades, e dimensionar espaços próprios para decidir as potências no polinômio mínimo.
Passo 2
Montamos A - \lambda I e calculamos seu determinante:
Os autovalores são \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=6 com multiplicidade 1.
Passo 4
Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0. A matriz reduzida tem posto 1, logo o espaço próprio tem dimensão 3-1=2. Como a multiplicidade geométrica de 2 é 2, não ocorre bloco de Jordan de tamanho >1.
Passo 5
Como todos os autovalores têm blocos de Jordan de tamanho 1, o polinômio mínimo é