Encontre os polinômios característico e mínimo de cada uma das matrizes dadas.
A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1 \\\\ 2 & 4 & -2 \\\\ -1 & -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio característico e o polinômio mínimo da matriz
A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\\\ 2 & 4 & -2\\\\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos usar determinante para achar o característico, fatorar para obter autovalores e suas multiplicidades, e dimensionar espaços próprios para decidir as potências no polinômio mínimo.

Passo 2

Montamos A - \lambda I e calculamos seu determinante:
A - \lambda I =\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & -1\\\\ 2 & 4-\lambda & -2\\\\ -1 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Usando expansão, chega-se a
\det(A - \lambda I) =\lambda^3-10\lambda^2+28\lambda-24.

Passo 3

Fatoramos
\lambda^3-10\lambda^2+28\lambda-24 =(\lambda-2)^2(\lambda-6).
Os autovalores são \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=6 com multiplicidade 1.

Passo 4

Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0. A matriz reduzida tem posto 1, logo o espaço próprio tem dimensão 3-1=2. Como a multiplicidade geométrica de 2 é 2, não ocorre bloco de Jordan de tamanho >1.

Passo 5

Como todos os autovalores têm blocos de Jordan de tamanho 1, o polinômio mínimo é
m(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-6).

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^3-10\lambda^2+28\lambda-24=(\lambda-2)^2(\lambda-6),
e o polinômio mínimo é
m(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-6).

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