Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 gerados por f em a.
d) f(x)=ln (1+x), a=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x)=ln(1+x) em a=0. O conteúdo é séries e polinômios de Taylor, e vamos precisar calcular até f'''(0) e usar a fórmula geral: T3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3

Passo 2

Vamos calcular f(0) e a primeira derivada. Como f(x)=ln(1+x), temos
f'(x)=11+x
Logo
f(0)=ln(1+0)=0,
f'(0)=11+0=1

Passo 3

Agora calculamos a segunda e terceira derivadas. A segunda derivada é
f''(x)=-1(1+x)^2,
então
f''(0)=-1
A terceira derivada é
f'''(x)=21(1+x)^3,
logo
f'''(0)=2

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula de Taylor de ordem 3:
T3(x)=0+1cdot x+-12!x^2+23!x^3
Simplificando os fatoriais e os coeficientes, obtemos
T3(x)=x-x^22+x^33

Resposta

T3(x)=x-x^22+x^33

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