Encontre a série de Taylor gerada por
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Passo 1
O exercício pede para encontrar a série de Taylor de f(x)=2^x em torno de a=0, ou seja, a expansão de Maclaurin dessa função. Vamos usar a ideia de expressar 2^x como exponencial natural e aplicar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Reescrevemos f(x) em termos de e: visto que 2^x = e^{x,\ln 2}, definimos u = x,\ln 2. Assim f(x) = e^u com u = x,\ln 2.
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor (Maclaurin) de e^u em torno de u=0 é
Passo 4
Substituindo u = x,\ln 2 nessa série, obtemos
Passo 5
Por fim, distribuindo a potência e separando x^n, a expansão fica