Encontre a série de Taylor gerada por f em x=a.
© f(x)=2^x, a=0

Passo 1

O exercício pede para encontrar a série de Taylor de f(x)=2^x em torno de a=0, ou seja, a expansão de Maclaurin dessa função. Vamos usar a ideia de expressar 2^x como exponencial natural e aplicar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em termos de e: visto que 2^x = e^{x,\ln 2}, definimos u = x,\ln 2. Assim f(x) = e^u com u = x,\ln 2.

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor (Maclaurin) de e^u em torno de u=0 é
e^u = sumn=0^infty u^nn!

Passo 4

Substituindo u = x,\ln 2 nessa série, obtemos
e^x,ln 2 = sumn=0^infty (x,ln 2)^nn!

Passo 5

Por fim, distribuindo a potência e separando x^n, a expansão fica
2^x = sumn=0^infty (ln 2)^nn!,x^n

Resposta

2^x = sumn=0^infty (ln 2)^nn!,x^n

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