Encontre o raio de convergência da série.
(a) sumn=1^infty n!3 cdot 6 cdot 9 cdots 3 n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências sumn=1^infty n!3cdot6cdot9cdots3nx^n. O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Note que
3cdot6cdot9cdots3n = 3^n,n!
Logo o coeficiente an é
an = n!3^n n! = 13^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão: calculamos
L = limntoinfty |an+1x^n+1an x^n| = limntoinfty 1/3^n+11/3^n|x| = |x|3

Passo 4

A condição de convergência é L<1, ou seja |x|/3<1, dando
|x|<3

Resposta

3

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