Encontre o raio de convergência da série
r) sumn=1^infty 1+2+cdots+n1^2+2^2+cdots+n^2 x^n

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos encontrar o raio de convergência da série de potências
sumn=1^infty 1+2+cdots+n1^2+2^2+cdots+n^2,x^n
O conteúdo envolve séries de potências e o teste da razão. Para resolver, vamos usar as fórmulas de soma de termos de uma progressão aritmética e de soma de quadrados.

Passo 2

Primeiro, calculamos as somas no numerador e no denominador usando fórmulas conhecidas:
1+2+cdots+n = n(n+1)2,
1^2+2^2+cdots+n^2 = n(n+1)(2n+1)6
Substituindo esses resultados no termo geral da série, temos
an = n(n+1)2n(n+1)(2n+1)6 = 62(2n+1) = 32n+1

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão para a série sum an x^n. Calculamos
|an+1x^n+1an x^n| = |x| cdot 3/(2(n+1)+1)3/(2n+1) = |x|cdot 2n+12n+3
e notamos que
limntoinfty 2n+12n+3 = 1

Passo 4

Portanto, o teste da razão mostra que a série converge se
|x|cdot 1 < 1 Longrightarrow |x| < 1
Logo, o raio de convergência é 1.

Resposta

1

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