Encontre o ponto na curva de r(t)=(raiz2 cos t, raiz2 tan t, raiz2 sent), com 0 <= t <= pi / 2, em que a reta tangente é paralela ao plano raiz3 x+raiz3 z=pi.

Passo 1

O enunciado pede o ponto na curva r(t)=(raiz2cos t,,raiz2tan t,,raiz2sin t) para 0<= t<=pi/2 em que a reta tangente seja paralela ao plano raiz3x+raiz3z=pi. O conteúdo é derivadas de curvas espaço e a condição de paralelismo entre reta e plano (direção da reta deve ser ortogonal ao normal do plano).

Passo 2

Vamos achar o vetor tangente à curva calculando r'(t). Sabendo que r(t)=(raiz2cos t,,raiz2tan t,,raiz2sin t), derivamos cada componente:
  • Para x(t)=raiz2cos t vem x'(t)=-raiz2sin t.
  • Para y(t)=raiz2tan t vem y'(t)=raiz2sec^2 t.
  • Para z(t)=raiz2sin t vem z'(t)=raiz2cos t.
    Logo,
r'(t)=(-raiz2sin t,,raiz2sec^2 t,,raiz2cos t)

Passo 3

O plano raiz3x+raiz3z=pi tem vetor normal n=(raiz3,0,raiz3). Para a reta tangente ser paralela ao plano, o vetor direção da reta deve satisfazer r'(t)cdot n=0. Calculamos
r'(t)cdot n=l(-raiz2sin t,,raiz2sec^2 t,,raiz2cos tr)cdot(raiz3,0,raiz3)=raiz3(-raiz2sin t+raiz2cos t)

Passo 4

Impondo zero:
raiz3(-raiz2sin t+raiz2cos t)=0Longrightarrow-sin t+cos t=0Longrightarrowtan t=1

Passo 5

No intervalo dado, tan t=1 implica t=pi/4.

Passo 6

Finalmente, avaliamos r em t=pi/4:
rl(tfracpi4r)=l(raiz2costfracpi4,,raiz2tantfracpi4,,raiz2sintfracpi4r)=(1,,raiz2,,1)

Resposta

O ponto procurado é (1, √2, 1).

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