Encontre
Encontre o ponto na curva
que está mais próximo do ponto
Encontre o ponto na curva
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o(s) ponto(s) da curva parametrizada por
que está(ão) mais próximo(s) do ponto
.
Informações dadas:
Ponto fixo:
.
O que devemos encontrar: o(s) valor(es) de
que tornam a distância entre
e
mínima, e então as coordenadas correspondentes
na curva.
Passo 2
Estratégia (aula rápida e prática): em problemas de minimizar distância a uma curva é usual minimizar o quadrado da distância, porque isso evita a raiz quadrada e tem os mesmos pontos mínimos (a função raiz é crescente). Definimos a função distância ao quadrado
entre
e
:
Substituindo
e
:
Comentário didático: minimizar
é equivalente a minimizar a distância, e trabalhar com
evita raízes e simplifica derivadas.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
e procurar pontos críticos (onde
). Usamos regra da cadeia / produto quando necessário.
Primeira parcela:
Segunda parcela:
Somando:
Fatorando o que for óbvio:
e
, então
Fator comum
:
Passo 4
Obtemos os candidatos críticos resolvendo
. As possibilidades são
ou os
que anulam o parêntese grande. Para simplificar, coloque
(note que
):
Expandindo:
Dividindo por
:
Resolver a quadrática:
Como
, ambos os valores são admissíveis numericamente:
Portanto os candidatos para
são
Passo 5
Agora temos que decidir qual desses candidatos dá o mínimo de
. Para isso, note que
depende só de
(porque
), então pontos com
e
têm o mesmo
. Vamos escrever
em função de
:
Expandindo para facilitar cálculos:
Calcule
nos três valores de
relevantes:
- Para
(corresponde a ):
- Para
(o candidato que parece maior):
faça uma avaliação numérica para comparar (ou mantenha exata se preferir). Numericamente,
então
- Para
:
então
Comparando os valores:
é o menor (aprox.
), logo os pontos com
fornecem a distância mínima. Observação: como
depende de
, os dois valores
dão a mesma distância mínima — portanto há dois pontos da curva igualmente mais próximos de
.
Passo 6
Agora calculamos as coordenadas desses pontos. Lembremos que
. Então
E
Calcule
:
Logo
Podemos deixar assim (forma exata). Numericamente obtém-se
o que confirma os dois pontos simétricos em
.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: encontramos que a distância mínima de
à curva ocorre em dois pontos simétricos em relação ao eixo
. Isso acontece porque a curva e o ponto são simétricos em
(o ponto tem abscissa
), logo os pontos mais próximos aparecem aos dois lados simetricamente. Mandar bem até aqui — essa técnica (minimizar distância ao quadrado e resolver
) é um recurso que cai bastante em prova e é rápida quando você se acostuma.