Encontre
Encontre o ponto na curva x=t^{3}-3 t, y=t^{2}-4 que está mais próximo do ponto (0,-2)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o(s) ponto(s) da curva parametrizada por x=t^{3}-3t,\; y=t^{2}-4 que está(ão) mais próximo(s) do ponto (0,-2).
Informações dadas:
x(t)=t^{3}-3t,\qquad y(t)=t^{2}-4
Ponto fixo: (0,-2).
O que devemos encontrar: o(s) valor(es) de t que tornam a distância entre (x(t),y(t)) e (0,-2) mínima, e então as coordenadas correspondentes (x,y) na curva.

Passo 2

Estratégia (aula rápida e prática): em problemas de minimizar distância a uma curva é usual minimizar o quadrado da distância, porque isso evita a raiz quadrada e tem os mesmos pontos mínimos (a função raiz é crescente). Definimos a função distância ao quadrado D(t) entre (x(t),y(t)) e (0,-2):
D(t) = (x(t)-0)^{2} + (y(t)+2)^{2}.
Substituindo x(t) e y(t):
D(t) = \bigl(t^{3}-3t\bigr)^{2} + \bigl(t^{2}-4+2\bigr)^{2} = \bigl(t^{3}-3t\bigr)^{2} + \bigl(t^{2}-2\bigr)^{2}.
Comentário didático: minimizar D(t) é equivalente a minimizar a distância, e trabalhar com D(t) evita raízes e simplifica derivadas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada D'(t) e procurar pontos críticos (onde D'(t)=0). Usamos regra da cadeia / produto quando necessário.
Primeira parcela:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-3t\bigr)^{2} = 2\bigl(t^{3}-3t\bigr)\cdot(3t^{2}-3).
Segunda parcela:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}-2\bigr)^{2} = 2\bigl(t^{2}-2\bigr)\cdot 2t = 4t\bigl(t^{2}-2\bigr).
Somando:
D'(t)=2\bigl(t^{3}-3t\bigr)(3t^{2}-3) + 4t\bigl(t^{2}-2\bigr).
Fatorando o que for óbvio: t^{3}-3t = t(t^{2}-3) e 3t^{2}-3=3(t^{2}-1), então
D'(t)=6\bigl(t^{3}-3t\bigr)(t^{2}-1) + 4t\bigl(t^{2}-2\bigr) =6t(t^{2}-3)(t^{2}-1) + 4t(t^{2}-2).
Fator comum t:
D'(t)=t\Bigl(6(t^{2}-3)(t^{2}-1) + 4(t^{2}-2)\Bigr).

Passo 4

Obtemos os candidatos críticos resolvendo D'(t)=0. As possibilidades são t=0 ou os t que anulam o parêntese grande. Para simplificar, coloque u=t^{2} (note que u\ge 0):
6(u-3)(u-1) + 4(u-2)=0.
Expandindo:
6(u^{2}-4u+3) + 4u -8 = 6u^{2}-24u+18 +4u -8 = 6u^{2}-20u+10=0.
Dividindo por 2:
3u^{2}-10u+5=0.
Resolver a quadrática:
u=\frac{10\pm\sqrt{100-60}}{6}=\frac{10\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{10\pm 2\sqrt{10}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{10}}{3}.
Como u=t^{2}\ge 0, ambos os valores são admissíveis numericamente:
u_{1}=\frac{5+\sqrt{10}}{3},\qquad u_{2}=\frac{5-\sqrt{10}}{3}.
Portanto os candidatos para t são
t=0,\quad t=\pm\sqrt{u_{1}},\quad t=\pm\sqrt{u_{2}}.

Passo 5

Agora temos que decidir qual desses candidatos dá o mínimo de D. Para isso, note que D depende só de u=t^{2} (porque D(t)=t^{2}(t^{2}-3)^{2}+(t^{2}-2)^{2}), então pontos com t e -t têm o mesmo D. Vamos escrever D em função de u:
D(u)=u(u-3)^{2}+(u-2)^{2}.
Expandindo para facilitar cálculos:
D(u)=u^{3}-5u^{2}+5u+4.
Calcule D nos três valores de u relevantes:
  • Para u=0 (corresponde a t=0):
D(0)=0-0+0+4=4.
  • Para u_{1}=\dfrac{5+\sqrt{10}}{3} (o candidato que parece maior):
    faça uma avaliação numérica para comparar (ou mantenha exata se preferir). Numericamente,
u_{1}\approx 2{,}7208,
então
D(u_{1})\approx 0{,}7205.
  • Para u_{2}=\dfrac{5-\sqrt{10}}{3}:
u_{2}\approx 0{,}6126,
então
D(u_{2})\approx 5{,}4163.
Comparando os valores: D(u_{1}) é o menor (aprox. 0{,}7205), logo os pontos com t^{2}=u_{1} fornecem a distância mínima. Observação: como D depende de t^{2}, os dois valores t=\pm\sqrt{u_{1}} dão a mesma distância mínima — portanto há dois pontos da curva igualmente mais próximos de (0,-2).

Passo 6

Agora calculamos as coordenadas desses pontos. Lembremos que u_{1}=\dfrac{5+\sqrt{10}}{3}. Então
y = t^{2}-4 = u_{1}-4 = \frac{5+\sqrt{10}}{3}-4 = \frac{\sqrt{10}-7}{3}.
E
x = t^{3}-3t = t(t^{2}-3) = \pm\sqrt{u_{1}}\bigl(u_{1}-3\bigr).
Calcule u_{1}-3:
u_{1}-3=\frac{5+\sqrt{10}}{3}-3=\frac{\sqrt{10}-4}{3}.
Logo
x = \pm\sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{3}}\cdot\frac{\sqrt{10}-4}{3}.
Podemos deixar assim (forma exata). Numericamente obtém-se
x\approx \pm 0{,}4603,\qquad y\approx -1{,}2792,
o que confirma os dois pontos simétricos em x.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: encontramos que a distância mínima de (0,-2) à curva ocorre em dois pontos simétricos em relação ao eixo y. Isso acontece porque a curva e o ponto são simétricos em x (o ponto tem abscissa 0), logo os pontos mais próximos aparecem aos dois lados simetricamente. Mandar bem até aqui — essa técnica (minimizar distância ao quadrado e resolver D'(t)=0) é um recurso que cai bastante em prova e é rápida quando você se acostuma.

Resposta

\displaystyle \left(\pm\sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{3}}\cdot\frac{\sqrt{10}-4}{3},\;\frac{\sqrt{10}-7}{3}\right)

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