Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
Passo 1
O enunciado dá a equação polar
e pede para determinar os vértices e os focos da cônica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está em coordenadas polares com o polo no foco (ou seja, um foco está na origem).
- A função envolve
, o que indica que a diretiz é uma reta horizontal do tipo .
Perguntas a responder: quais são as coordenadas dos vértices da cônica e quais são as coordenadas dos focos?
Passo 2
Colocar a equação num formato padrão de cônicas em polares. Divido numerador e denominador por
:
Comparando com a forma padrão
podemos identificar:
Aqui
é a excentricidade (número que determina se é elipse, parábola ou hipérbole) e
é a distância da diretiz até o polo (o sinal
indica diretiz do tipo
). Como
, a cônica é uma elipse.
Passo 3
A partir de
e
calculo
:
Logo a diretiz, segundo a forma usada, é a reta
Comentário didático rápido: a forma
corresponde a uma diretiz dada por
; aqui
(por
), então a diretiz é
.
Passo 4
Encontrar os pontos mais próximos e mais distantes do foco (polo) — esses são os vértices ao longo do eixo principal. Os extremos ocorrem quando
.
- Para
(isto é, ):
- Para
(isto é, ):
Esses são os raios (distâncias ao foco na origem) dos dois vértices principais. Em coordenadas cartesianas, como os ângulos são
, esses vértices ficam sobre o eixo
:
Passo 5
Agora quero determinar os focos completos (o foco já conhecido na origem e o outro foco). Para isso uso relações clássicas da elipse com foco na origem.
Definição útil: se
é o semieixo maior e
é a distância do centro ao foco, então
Somando as duas igualdades:
Substituo os valores:
Em seguida,
Comentário didático:
é metade do comprimento do eixo maior;
é a distância entre o centro da elipse e cada foco; a excentricidade
também satisfaz
, que aqui verifica
como encontrado antes.
Passo 6
Determino a posição do centro e do segundo foco. Os vértices calculados estão em
e
. O centro da elipse é o ponto médio entre os vértices:
Logo o centro é
.
Os focos ficam a distância
acima e abaixo do centro, isto é:
Portanto os focos têm coordenadas
Note que um dos focos é a origem, como já sabíamos pela formulação polar.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Focos: