Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
r=\frac{8}{2+\sin \theta}

Passo 1

O enunciado dá a equação polar
r=\frac{8}{2+\sin\theta}
e pede para determinar os vértices e os focos da cônica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está em coordenadas polares com o polo no foco (ou seja, um foco está na origem).
  • A função envolve \sin\theta, o que indica que a diretiz é uma reta horizontal do tipo y=\text{constante}.
    Perguntas a responder: quais são as coordenadas dos vértices da cônica e quais são as coordenadas dos focos?

Passo 2

Colocar a equação num formato padrão de cônicas em polares. Divido numerador e denominador por 2:
r=\frac{8}{2+\sin\theta}=\frac{4}{1+\tfrac{1}{2}\sin\theta}.
Comparando com a forma padrão
r=\frac{ed}{1+e\sin\theta},
podemos identificar:
e=\tfrac{1}{2},\qquad ed=4.
Aqui e é a excentricidade (número que determina se é elipse, parábola ou hipérbole) e d é a distância da diretiz até o polo (o sinal + indica diretiz do tipo y=d). Como e=\tfrac{1}{2}<1, a cônica é uma elipse.

Passo 3

A partir de ed=4 e e=\tfrac{1}{2} calculo d:
d=\frac{ed}{e}=\frac{4}{\tfrac{1}{2}}=8.
Logo a diretiz, segundo a forma usada, é a reta
y=8.
Comentário didático rápido: a forma r=\dfrac{ed}{1+e\sin\theta} corresponde a uma diretiz dada por x\cos\theta_0+y\sin\theta_0=d; aqui \theta_0=\tfrac{\pi}{2} (por +\sin\theta), então a diretiz é y=d.

Passo 4

Encontrar os pontos mais próximos e mais distantes do foco (polo) — esses são os vértices ao longo do eixo principal. Os extremos ocorrem quando \sin\theta=\pm 1.
  • Para \sin\theta=1 (isto é, \theta=\tfrac{\pi}{2}):
r_{\min}=\frac{4}{1+e}=\frac{4}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{4}{\tfrac{3}{2}}=\frac{8}{3}.
  • Para \sin\theta=-1 (isto é, \theta=-\tfrac{\pi}{2}):
r_{\max}=\frac{4}{1-e}=\frac{4}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{4}{\tfrac{1}{2}}=8.
Esses são os raios (distâncias ao foco na origem) dos dois vértices principais. Em coordenadas cartesianas, como os ângulos são \pm\tfrac{\pi}{2}, esses vértices ficam sobre o eixo y:
\text{vértice superior: }\left(0,\frac{8}{3}\right),\qquad \text{vértice inferior: }\left(0,-8\right).éé

Passo 5

Agora quero determinar os focos completos (o foco já conhecido na origem e o outro foco). Para isso uso relações clássicas da elipse com foco na origem.
Definição útil: se a é o semieixo maior e c é a distância do centro ao foco, então
r_{\min}=a-c,\qquad r_{\max}=a+c.
Somando as duas igualdades:
r_{\min}+r_{\max}=2a \quad\Rightarrow\quad a=\frac{r_{\min}+r_{\max}}{2}.
Substituo os valores:
a=\frac{\tfrac{8}{3}+8}{2}=\frac{\tfrac{8+24}{3}}{2}=\frac{\tfrac{32}{3}}{2}=\frac{16}{3}.
Em seguida,
c=a-r_{\min}=\frac{16}{3}-\frac{8}{3}=\frac{8}{3}.
Comentário didático: a é metade do comprimento do eixo maior; c é a distância entre o centro da elipse e cada foco; a excentricidade e também satisfaz e=\tfrac{c}{a}, que aqui verifica e=\tfrac{8/3}{16/3}=\tfrac{1}{2} como encontrado antes.

Passo 6

Determino a posição do centro e do segundo foco. Os vértices calculados estão em y=\tfrac{8}{3} e y=-8. O centro da elipse é o ponto médio entre os vértices:
y_{\text{centro}}=\frac{\tfrac{8}{3}+(-8)}{2}=\frac{\tfrac{8-24}{3}}{2}=\frac{-\tfrac{16}{3}}{2}=-\frac{8}{3}.
Logo o centro é \left(0,-\tfrac{8}{3}\right).
Os focos ficam a distância c=\tfrac{8}{3} acima e abaixo do centro, isto é:
y_{\text{foco}}=y_{\text{centro}}\pm c=-\frac{8}{3}\pm\frac{8}{3}.
Portanto os focos têm coordenadas
\left(0,0\right)\quad\text{e}\quad\left(0,-\frac{16}{3}\right).
Note que um dos focos é a origem, como já sabíamos pela formulação polar.

Resposta

Vértices: \left(0,\dfrac{8}{3}\right) e \left(0,-8\right)
Focos: \left(0,0\right) e \left(0,-\dfrac{16}{3}\right)

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