incontre a pelução do PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+\frac{2}{t} y=\frac{\cos t}{t^{2}}, t>0 \\\ y(\pi)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+\dfrac{2}{t}y=\dfrac{\cos t}{t^{2}},\quad t>0,\\[6pt] y(\pi)=0. \end{array}\right.
Informações fornecidas e o que precisamos encontrar:
  • A equação diferencial é uma equação de primeira ordem, escrita em forma linear: y^{\prime}+\dfrac{2}{t}y=\dfrac{\cos t}{t^{2}}.
  • A condição inicial é y(\pi)=0.
  • O domínio da solução é t>0 (isso é importante para operações com \ln t e para garantir que t\neq0).
  • Nosso objetivo: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Transformando a equação para a forma padrão e identificando os termos.
Escrevemos a equação na forma padrão
y'+P(t)\,y=Q(t)
onde, no nosso caso,
P(t)=\dfrac{2}{t},\qquad Q(t)=\dfrac{\cos t}{t^{2}}.
Explicação didática do que é essa forma: aqui y' é a derivada de y em relação a t, P(t) é a função que multiplica y e Q(t) é o termo independente. Essa é a forma padrão para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
A fórmula do fator integrante para equações lineares de 1ª ordem é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
No nosso caso
\int P(t)\,dt=\int \dfrac{2}{t}\,dt=2\ln t,
como t>0 isso é bem definido. Portanto
\mu(t)=\exp(2\ln t)=t^{2}.
Breve comentário didático: o fator integrante funciona porque, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t). É uma forma de “reconhecer” um produto derivado e integrar facilmente.

Passo 4

Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando ambos os lados por t^{2} obtemos
t^{2}y' + 2t y = \cos t.
Agora observe que a expressão da esquerda é exatamente a derivada do produto t^{2}y:
\big(t^{2}y\big)' = t^{2}y' + 2t y.
Logo a equação pode ser reescrita como
\big(t^{2}y\big)' = \cos t.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Integramos em relação a t:
\int \big(t^{2}y\big)'\,dt = \int \cos t\,dt.
A integral do lado esquerdo é t^{2}y (mais uma constante), e a do lado direito é \sin t. Assim
t^{2}y = \sin t + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y,
y(t)=\dfrac{\sin t + C}{t^{2}}.
Comentário didático: aqui obtemos a família de soluções gerais parametrizada por C. A condição inicial servirá para determinar C.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar C.
Substituímos t=\pi em y(t)=\dfrac{\sin t + C}{t^{2}} e igualamos a zero:
0 = y(\pi)=\dfrac{\sin\pi + C}{\pi^{2}}.
Sabemos que \sin\pi=0, então
0=\dfrac{0 + C}{\pi^{2}}\quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 7

Escrever a solução particular do PVI e verificar rapidamente.
Com C=0 a solução que satisfaz a condição inicial é
y(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}},\qquad t>0.
Verificação rápida (só para ficar seguro): calcule y' e confira que y'+\dfrac{2}{t}y=\dfrac{\cos t}{t^{2}}. De fato, derivando y(t)=\sin t\cdot t^{-2} e simplificando dá exatamente o termo de força \dfrac{\cos t}{t^{2}}, então está consistente.

Resposta

y(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}},\quad t>0

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