Explicação didática do que é essa forma: aqui y' é a derivada de y em relação a t, P(t) é a função que multiplica y e Q(t) é o termo independente. Essa é a forma padrão para aplicar o método do fator integrante.
Passo 3
Calcular o fator integrante \mu(t).
A fórmula do fator integrante para equações lineares de 1ª ordem é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
No nosso caso
\int P(t)\,dt=\int \dfrac{2}{t}\,dt=2\ln t,
como t>0 isso é bem definido. Portanto
\mu(t)=\exp(2\ln t)=t^{2}.
Breve comentário didático: o fator integrante funciona porque, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t). É uma forma de “reconhecer” um produto derivado e integrar facilmente.
Passo 4
Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando ambos os lados por t^{2} obtemos
t^{2}y' + 2t y = \cos t.
Agora observe que a expressão da esquerda é exatamente a derivada do produto t^{2}y:
\big(t^{2}y\big)' = t^{2}y' + 2t y.
Logo a equação pode ser reescrita como
\big(t^{2}y\big)' = \cos t.
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Integramos em relação a t:
\int \big(t^{2}y\big)'\,dt = \int \cos t\,dt.
A integral do lado esquerdo é t^{2}y (mais uma constante), e a do lado direito é \sin t. Assim
t^{2}y = \sin t + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y,
y(t)=\dfrac{\sin t + C}{t^{2}}.
Comentário didático: aqui obtemos a família de soluções gerais parametrizada por C. A condição inicial servirá para determinar C.
Passo 6
Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar C.
Substituímos t=\pi em y(t)=\dfrac{\sin t + C}{t^{2}} e igualamos a zero:
Escrever a solução particular do PVI e verificar rapidamente.
Com C=0 a solução que satisfaz a condição inicial é
y(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}},\qquad t>0.
Verificação rápida (só para ficar seguro): calcule y' e confira que y'+\dfrac{2}{t}y=\dfrac{\cos t}{t^{2}}. De fato, derivando y(t)=\sin t\cdot t^{-2} e simplificando dá exatamente o termo de força \dfrac{\cos t}{t^{2}}, então está consistente.